2013年中考数学经典压轴试题选编(含解析)2.doc

2013中考数学经典压轴试题选编（附完整解析） 1、（2013成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（b,c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，－1），C的坐标为（4,3），直角顶点B在第四象限。 （1）如图，若该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式； （2）平（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q. i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标； ii）取BC的中点N,连接NP,BQ。试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。 解析： （1）A(0,－1) C(4,3) 则｜AC｜= ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4 ∴B点(4,－1)将A,B代入抛物线方程有 ? ∴ （2）当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。下面给予证明： 原抛物线 顶点P为(2,1) 设平移后顶点P为(a,a－1),则平移后抛物线 联立y=x－1(直线AC方程) 得Q点为（a－2,a－3） ∴｜PQ｜= 即实际上是线段AP在直线AC上的滑动. ⅰ）点M在直线AC下方，且M,P,Q构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q构成等腰直角三角形的M点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点. ①若∠M为直角，则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l 又知｜PQ｜= ，则｜MH｜= ｜PM｜=2 直线l即为AC向下平移｜PM｜=2个单位 L:y=x－3 联立 得x=1± M点为（1+，－2）或（1－，－－2） ②若∠P=或∠Q为直角，即PQ为直角边，MQ⊥PQ且，MQ=PQ= 或MP⊥PQ,且MP=PQ=,∴M点轨迹是AC下方距AC为且与AC平行直线L 直线L即为AC向下平移｜MP｜=4个单位 L:y=x－5 联立得x=4或x=－2 ∴M点为(4,－1)或（－2，－7） 综上所有符合条件的点M为（1+，－2）（4,－1）；（1－，－－2）,（－2，－7） ⅱ)知PQ= 有最大值，即NP+BQ有最小值 如下图，取AB中点M，连结QM,NM,知N为中点 ∴MN为AC边中位线，∴MN∥AC且MN=AC==PQ ∴ ∴MNPQ为平行四边形 即PN=QM ∴QB+PN=BQ+MQ 此时，作B点关于AC对称的点B′,连, 交AC于点H，易知=BQ ∴BQ+PN=+MQ≥(三角形两边之和大于第三边) 仅当Q与H重合时，取等号 即BQ+PN最小值存在 且最小值为 连结知为等腰直角三角形。 =4，AM=AB=2 ∴由勾股定理得 ∴最大值存在，且最大值为 2、（2013?钦州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA． （1）求点A的坐标和∠AOB的度数； （2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由； （4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．3718684 专题： 探究型． 分析： （1）由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论； （2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论； （3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x进行检验即可得出结论； （4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q（a，（a﹣2）2﹣4），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a