数学实践与建模ch3526课案.ppt

另外，当X很小时，由泰勒公式得 于是，悬链线方程近似为 因此，悬链线在其顶点附近近似于抛物线，在工程上常用抛物线来近似代替悬链线。 例3.38 质点滑落所用最短时间的最佳路线问题 1696年，约翰 伯努利提出了一个开放性问题：确定一条从 点到 点的曲线（ 点在 点下方，但不在 点正下方），使得一颗珠子在重力作用下沿曲线从 点到达 点所用时间最短。这就是著名的最速下降问题。 解 : 假定有一质量为m的质点，从 点滑落到 点，求所用最短时间路线l 的方程。 质点受重力作用从P点出发沿曲线l滑落到 Q点。由能量守恒定律有 所以，质点运动的速度为 由于 ，其中s为从 出发，沿曲线l量起的弧长，所以质点下滑过程所需要的时间为： 简写为 其中， 现在的问题是从形如 的积分中求出 ，使T达到最小。这类问题称为泛函极值问题，解决这类问题的方法是变分法，在一定条件下可以证明，使得? 取得极值的函数 必须满足下述欧拉方程： 由(3.36)知， 不显含x ，欧拉方程式(3.37)两端同乘以 得 二元复合函数 对X 求偏导数得 所以， 将上式代入到（3.38）式得 由于 所以， 因此， 由于 所以，由（3.41）式得 化简后，得 令 ，则（3.42）化为 为求解微分方程（3.43），令 ，于是 所以， 利用（3.43）式和（3.44）式，得 两端积分，得 当 时， 且 ，所以 。于是得到所求曲线的参数方程为 其中 可由Q点的坐标 来确定。 由（3.46）式可知，所用最短时间路线的曲线l为摆线。摆线是一半径r为的轮子沿一条水平直线向前滚动，轮子边缘上一点P运动的轨迹。 添加各函数含义，但讲时不必再重复。 * 添加含义 * 把横纵坐标刻度变大些，醒目些；加上h和m的含义以及纵坐标的含义，各物理量的单位；线稍粗些 * 图的格式 * 图 * 由上述推导知， 越大，数 越接近 。这就是说，一个所有的项都是有理数的数列，却与 这样一个无理数有着密切的关系。这个数就是黄金分割的值。 3.2导数的应用实例例1 谁跑的最快 假定在某湖畔举行越野赛，起点设在如图3.2所示的 P点，终点在湖心的Q点。坐标系中 X轴下方为湖，X 轴上方为陆地。P、Q 两点的南北距离为5千米，东西距离为7千米，湖岸边位于P点以南2千米。比赛中运动员可自行选择线路，但必须从P点出发跑步到岸边，再从岸边下水游泳到达终点 Q。已知运动员跑步的 速度为18千米/小时，游泳的速度为 6千米/小时，问他应从岸边的何处 下水才能使比赛用时最少? 解 ： 考虑光的折射问题。假定一束光线由空气中P点经过水面折射后进入水中Q点。已知光线总是以耗时最少的路线传播。在平面直角坐标系中，PQ的坐标分别为 ，X轴为水面。光在空气中的传播速度为 ，光在水中传播速度为 ，试确定光线的传播线路，找出入射角 和折射角 的关系. 由于光在同一介质中按直线传播耗时最少，所以，光从 P点出发到达R点所用时间为 光从R点出发在水中到达Q点所用的时间为 所以，光从P点出发到达Q点的总耗时为 求x，使 达到极小。