数学思维2课案.ppt

数学与创新思维 　　引 言 全国科技大会指出： “创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。…一个没有创新能力的民族难于屹立于世界民族之林。” “建立创新型国家。” 教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变教育观念，……尤其是要以培养学生的创新意识和创造精神为主。” 恩格斯指出： “一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。” 创造性人才的创造活动是在相应的创造性思维的支配下，所进行的一种积极的能动的活动。创造性思维是一切创造活动的核心和灵魂。 H·G·格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。” 赫巴特说：“数学一般通过直接激发创造精神和活跃思维的方式来提供最佳服务。” 因此我认为： 数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。 讲五个问题 一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、（数学）猜想 六、其它数学思维方法 我将结合高等数学和数学史上一些著名问题来讲 一、归纳思维 归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。 著名数学家拉普拉斯指出： “　分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法…牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。”　“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。” 著名数学家高斯曾说： “我的许多发现都是靠归纳取得的。” 著名数学家沃利斯说：“我把（不完全的）归纳和类比当作一种很好的考察方法，因为这种方法的确使我很容易发现一般规律．” 　归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、计算……）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。 　　　也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。 从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、……的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算……,然后归纳出其共性和本质的东西，例如：哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。 归纳的方法 ①哥德巴赫猜想: 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素数*。 10， 20， 30 都是偶数。 是否两个奇素数之和都是偶数呢？ 这是显然的。但是（逆向思维） 任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？ 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 …… 这样下去总是对的吗？即 任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和？ 大于4的偶数=奇素数+奇素数？ ( * ) （哥德巴赫猜想） 60=3+57 （57=19×3，不是素数） 60=5+55 （55=11×5，不是素数) ？！ 60=7+53（7和53都是素数） ……. 哥德巴赫猜想。起源，演变 哥德巴赫观察到一些具体例子， 然后归纳出： “任何大于2的数都是三个素数的和”。（1742.6.7写信 给欧拉，并附上一些他观察到的例子） 欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为： “每一偶数是两个素数的和”(**)（并说：“我认为它正确，但给不出证明） 1770（英）华林将(**)发表出来。 现代的标准陈述是（*） 这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景润，（1+2））。 这是数学向人类智慧的挑战！ 但对此猜想的证明过程中，极大的推动了解析数论的发展（特别是筛法，圆法） 二项式系数 (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5= 　　……. (u+v)n= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 4 5 6 4 1 3 6 1