数学与创新思维课案.ppt

发散思维 所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。 　此公设是“若一直线和两条直线相交，所构成的两同旁内角之和小于两直角，那么把这两直线延长，它们一定在两内角的一侧相交”。 这公设等价于：“在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行”。 欧 　当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。因此没有得到公认，于是就有人提出来把它作为定理来证明。但是许多数学家经历了2000多年都以失败告终，他们不是证明有错误，就是用另一条等价的公理代替了第五公设。 　　　达朗贝尔曾把第五公设的证明称为“几何原理中的家丑”。 直到19世纪初，数学家们着手研究它的反问题━━欧几里得第五公设不可证。特别是德国的高斯、匈牙利的鲍耶、俄国的罗巴切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第五公设的失败教训。 高斯 (1799,1813) 罗巴切夫斯基 (1826,1829) 鲍耶 （1832） 罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分： 不依赖于第五公设得到证明的命题（绝对几何）。 依赖于第五公设才能证明的命题。 “在一个平面上，过直线AB外一点至少可以作一条直线与AB不相交”。 1. 仅可作一条（第五公设） 欧氏几何； 2. 可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这就无异于证明了第五公设。 可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不同的新的几何体系。 他们首先肯定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证明，然后用一个与它相反的命题来代替它。即“在平面上，过直线外一点至少可引两条直线与已知直线平行。” 罗 从而建立了一种与欧几里得不同的新的几何体系。 高斯称之为“反欧几里得几何” 罗巴切夫斯基称之为“想象的几何” 后他又称之为“泛几何” 今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何）。 后来德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设的命题相反又与罗巴切夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，即“在平面上，过直线外一点不可能引一直线与已知直线平行”。 黎 从而建立了一种与欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何都不同的新的几何体系，现称为“黎曼几何”（又称椭圆几何）。 现在人们把“罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为“非欧几里得几何”。 黎曼 (1854) 20世纪伟大的数学家希尔伯特指出: “19世纪最富启发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现”。 非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数学分支的产生，它的重要意义还在于使数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如，它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙的几何模型。(太平洋) 欧几里得： 三角形内角和 = 两直角 , 2πr=c ， a2+b2=c2 　罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角　 , 2πrc ， a2+b2c2 黎曼： 三角形内角和 两直角 , 2πrc ，a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n维仿射空间和度量空间几何。 1871年克来因 关于五次及五次以上代数方程根式求解问题 　在16世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。如： 那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？ 这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。 韦达 拉格朗日 经过无数次的失败之后,直到19世纪初，一些数学家产生了逆向思维：首先是鲁非尼（Ruffini）和拉格朗日，接着是阿贝尔(Abel)，把问题的提法倒了过来