矩阵力学基础——表象理论.docVIP

第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论 4.1态和算符的表象表示 1．态的表象表示 (1) 坐标表象 以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的x坐标为例。算符本征方程是 (4-1-1) 本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得 （4.1.2） 展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。 (2) 动量表象 以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。以动量算符为例，其本征态为： (4 .1 .3) 将量子态按展开 (4 .1 .4) C(px)就是动量表象中的波函数。这正是第二章中已熟知的结果。 动量表象也可以用动量为自变量表示。在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数 （4.1.5） 在??量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。 (3) 任意表象 设有某一线性厄米算符。为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。它的本征方程为 (4.1.6) 将波函数按算符的正交归一本征函数系展开 （4.1.7） 展开系数{an(t)}就是波函数必在Q表象中的表示。它可由的正交归一性推出。将(4.1.7)式两边分别乘并对空间积分，得 (4 .1 .8) an(t)的物理意义是：当体系处在以(r,t)所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。因此我们可以用一组系数 {(t)}代替户(,t)来描述该状态。将数列a 1(t)，a2(t)，…，an(t)，…写成一个列矩阵，则(r,t)在Q表象的表示为 （4.1.9） 它的共轭矩阵是 （4.1.10） 归一条件是 （4.1.10） (4.1.9)式是波函数在Q表象中的表示。 现在对上述态的表象表示作些说明： (i)希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量是个复矢量。 (ii)刚好是的本征态，满足 (4.1.11) 由于已归一，故有,代入(4-1-8)式，得 （4.1.12） (iii) 本征谱连续，则相应的表示式为 (4.1.13) (4.1.14) (4.1.15) 波函数在表象中用相应的连续的列矩阵表示。 (iiii)，可以给出下述对应关系 量子态希尔伯特空间中的态矢量； 波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示； 任意算符的本征函数系表象的基； 不同表象不同基，不同坐标系； 本征函数基矢； 厄米算符的本征函数系一组完备的基矢 2．算符的表象表示 假定在原来的x表象中，波函数 经算符作用后变为另一波函数 ，即 （4.1.16） 只是x的函数。将及分别按{}展开 （4.1.17） （4.1.18） 则在表象中，态和分别由{} 及 这两个列矩阵表示。将（4.1.17）及（4.1.l8）式代入{4.1.16}式，得 （4.1.19） 以乘（4.1.19）式两端并对x作积分，得 即 （4.1.20） 其中 （4.1.21） （4.1.20）