矩阵理论试题.docVIP

矩阵理论2007年考试 一、判断题（40分）（对者打，错者打） 1、设的奇异值分别为，， 如果，则. ( ) 2、设为正规矩阵，则矩阵的谱半径. ( ) 3、设可逆，，若对算子范数有，则可逆. ( ) 4、设为一非零实矩阵，则为A的一个广义逆矩阵. ( ) 5、设A为矩阵，P为m阶酉矩阵, 则PA与A有相同的奇异值. ( ) 6、设，且A的所有列和都相等，则. ( ) 7、如果，则是向量范数. ( ) 8、至少有2个实特征值. ( ) 9、设则矩阵范数与向量的1-范数相容. ( ) 10、设是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有, 其中为单位矩阵. ( ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵可逆, 矩阵范数是上的向量范数诱导出的算子范数, 令, 证明: . 证明: 根据算子范数的定义, 有, , 结论成立. 2.(10分) 已知矩??, 求矩阵的最大秩分解; 求; 用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解? 求方程组的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解) 解: (1), (2), , , (3) , 方程组有解; (4) 最小范数解:. 3. (10分) 设矩阵为单纯矩阵, 证明: 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵, 使得为Hermite矩阵. 证明: (充分性) , , . (必要性) 为单纯矩阵, 所以, 令, 则为Hermite矩阵. 4. (10分) 设矩阵为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin圆盘定理证明: (1) 矩阵为可逆矩阵; (2) 如果矩阵的所有主对角元均为负数, 证明的所有特征值都有负实部. 5. (10分) (1) 设矩阵, 且, 其中为单位矩阵, 证明酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵. 证明: 由于矩阵和的非零特征值相同, 所以矩阵的特征值为1(个)和 0(个), 同时由于矩阵为Hermite矩阵, 所以矩阵酉相似于对角矩阵 (2) 设矩阵, 证明: . 证明: 令. 设的特征值为, 则, 即.设, 所以有, 即1是矩阵的特征值, 故, . 6. (10分) (1) 设矩阵, 则 是矩阵范数. (2) 设, 矩阵，求.