离散型随机变量的期望与方差课时.docVIP

PAGE  PAGE 8 离散型随机变量的期望与方差(二) ●教学过程 一、.课题导入 在初中代数中我们曾经学过这样一个问题：设在一组数据x1,x2,…,xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－)2,(x2－)2,…,(xn－)2,那么S2=［(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2］叫做这组数据的方差.(板书)请问对于离散型随机变量ξ所有可能取的值对应的概率分布是否也有方差呢？这就是我们今天来学习的课题：离散型随机变量的期望与方差(二)——方差. 二、讲授新课 1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望． 2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作． 注意：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 ④方差Dξ也是随机变量η=(ξ-Eξ)2的期望,所以Dξ=（x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2+…+（xn-Eξ)2·Pn + … =E(ξ-Eξ）2=Eξ2-（Eξ）2 3.方差的性质：（1）； 证明：∵E(aξ+b)=aEξ+b.P(η=axi+b)=P(ξ=xi)(i=1，2，3，…，n，…). ∴D(aξ+b)=［ax1+b－E(aξ+b)］2p1+［(ax2+b)－E(aξ+b)］2p2+…+［(axn+b)－E(aξ +b)］2pn+…=(ax1+b－aEξ－b)2p1+(ax2+b－aEξ－b)2p2+(ax3b－aEξ－b)2p3+…+(axn+b－ aEξ－b)2pn+…=(ax1－aEξ)2p1+(ax2－aEξ)2p2+…+(axn－aEξ)2pn+…=a2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…］=a2Dξ. （2）若ξ～B(n，p)，则np(1-p) 证明：因为ξ~B(n，p)，∴Eξ=np，Dξ=E(ξ－Eξ)2=E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2.而Eξ2=02··p0qn+12· ·p1qn－1+22··p2·qn－2+32·p3qn－3+…+n2·pnq0.(*) ∵k2=(k2－k)+k，∴k2=(k2－k) +k·=k(k－1)+n=n(k－1) +n1=n(n－1)+n. ∴(*)为Eξ2=0+［n·(1－1)·+n·］p1qn－1+［n(n－1)+n］p2qn－2+［n(n－1)+n］p3qn－3+…+［n(n－1)+n］pkqn－k+…+［n(n－1)+ n］pn·q0=n(n－1)p2［p0qn－2+p1qn－3+…+pn－2q0］+np·［p0qn－1 +p1qn－2+p2qn－3+…+pn－1q0］=n(n－1)p2(p+q)n－2+np·(p+q)n－1=n(n－1)p2+np ∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=n(n－1)p2+np－(np)2=np－np2=np(1－p)=npq(q=1－p).即Dξ=npq. （3）服从几何分布的随机变量的方差 若p(ξ=k)=g(k，p)，则 三、.课本例题 例1．设随机变量ξ的分布列为 ξ12…nP…求Dξ 解： 例2．已知离散型随机变量的概率分布为 1234567 P离散型随机变量的概率分布为 3．73．83．944．14．24．3P求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：； ； ； =0.04, . 点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解：+（10-9）；同理有 由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些． 点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况 例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产