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第九章 特殊的代数系统 习题9.1 1．解 ⑴是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的， 所以，是一个代数系统， 另一方面，有， 而，因此，，所以，运算“”满足结合律的，故是半群； ⑵是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的， 所以，是一个代数系统， 另一方面，，有，而，则 ，所以，运算“”满足结合律，故是半群； ⑶是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的， 所以，是一个代数系统， 另一方面，，有， ，即 ，所以，运算“”满足结合律，故是半群。 ⑷不是半群。虽然，二元运算“”在N上是封闭的，即是一个代数系统，但是 对于5，3，6，因为，，而，即，所以，运算“”不满足结合律，故不是半群。 2．解 ⑴正确。因为，运算显然封闭。 ⑵正确。 ， ， 即是，所以?满足结合律。故是半群。 ⑶，有，又有 即存在单位元是0，故是独异点。 3．解 都不能使{a,b},?构成独异点，因为没有一个函数存在单位元。而 的单位元是a, {a,b},能构成独异点。 4．解 ⑴是，因为M={2,3}关于min是封闭的，故M ,min是S,min的子代数； ⑵M ,min是S,min的子半群； ⑶不是，因为S的单位元是4，而4M,故M ,min不是S,min的子独异点。 习题9.2 1．解 ⑴是，因为实数乘法满足结合律，存在单位元a0=1，任意元素a存在逆元素a-1； ⑵是，因为有理数乘法满足结合律，存在单位元1，任意元素a存在逆元素a-1； （3）是，因为复数乘法满足结合律，存在单位元1,任意元素z的逆元素是z共轭复数； （4）是，因为多项式的加法满足结合律，多项式关于加法的单位元是0多项式，任意元素P(x)的逆元素是-P(x). （5）是, 因为向量的加法满足结合律，n维实向量关于向量的加法的单位元是n维零向量，任意的n维实向量?的逆元素是-?。 2．解 可以构成群。⑴因为，对于任意的 ，所以，运算满足结合律；， ⑵关于运算有单位元2，这是因为对于任意的都有，且； ⑶对于任意的a ?I，若要a有逆元b，需要有a?b=b?a=2，即需要a+b-2= b+a-2=2，事实上只要b=a-4即可。因此，对于任意的a ?I，a都可逆，且a的逆元是a-4。 综上所述，由⑴，⑵，⑶得出结论I与运算能构成群。 3．证明 因为对于任意的，所以a可逆,且，因此，G,*是群。要证明G,*是Abel群，只需证明运算满足交换律，事实上，因为，对于任意的，所以， 因此，由结合律则有，再由消去律得：。故G,*是Abel群。 4．证明 当时，因为， =， 所以，是方程的解。下面方程的解是唯一的。 对于若解y，即，由于群中的任何元素都可逆，则对上式两边同时左乘a-1，并两边同时右乘a-1b-1则得， 由结合律则有，。证毕。 5．证明 设1是群G的单位元，若G中存在幂等元a，即 因为群中的任何元素都可逆，因此，a也可逆，则有 故单位元为G中惟一的幂等元。 6．解 答案是A，因为存在同态映射f:R?R-{0},f(x)=ex，但不存在同构映射。 习题9.3 1．解 1，5，7，11为其生成元，任何与12互素的正整数都可作N12,+12的生成元。 2．证明 设H是循环群G的子群，且G的生成元是a。 若H={e}，则H是循环群。 若H≠{e}，由于H非空，则必存在正整数m0使am∈H。设m是使am∈H的最小的正整数，若对于任何的an∈H(n?N)，则由带余除法有 n=mk+r,0≤rm 则有ar=an-mk=ana-mk=an(am)∈H，而因为m是使am∈H的最小的正整数，且0≤rm，所以r=0。这样n=mk, an= amk= (am) ，再由an∈H的任意性知，H中的任意元素都是am的幂，故H=（am）,即循环群的任何子群都是循环群。 习题9.4 1．证明 ①显然H?G； ②证明运算*关于H的封闭性。任取a,b?H，对于任意的x ? G有，则，因此，； ③设1是G中的单位元，因为对于任意的x ? G有故，； ④任取a?H?G，对于任意的x?G，则由H的定义有, x*a=a*x ，由于群的元素都有逆元，因此a也有逆元。等式x*a=a*x两边同时左乘、并同时右乘a的逆元a-1则有， ，即，亦即。 综合①、②、③、④，H,* 是G,* 的子群。 2．解 群真子群有如下4个：{1},?，{1,5},?，{1,7},?，{1,11},?。 习题9.5 1．解 ⑴设，则集合 G={E, A, B, C,-E,-A,-B,-C }，G关于运算?的运算表如下。 表2 G关于运算?的运算表 ? E A B C -E -A -B -C E E A B C -E -A -B -C A A -E -C B -A E C -B B B C -E -A -B -C E A C C -B A -E -C B -A