秋西南大学《离散数学》次作业.docVIP

《离散数学》第4次作业 一、填空题 1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A – B = {1, 3, {1, 2}, {3}}, B – A = { {2, 3}, {1} }, A ? B = { 1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1} }. 2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( 0 ), 关于乘法运算“?”的单位元为( 1 ), 关于乘法运算“?”的零元为( 0 ). 3. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ). 4. 有限域的元素个数为( pn ), 其中( p为素数 )且( n为正整数 ). 5. 设G是(7, 15)简单平面图，则G一定 ( 是 )连通图，其每个面恰由( 3 )条边围成，G的面数为( 10 ). 二、单选题 1. 函数的复合运算“”满足( B ) (A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律. 2. 设集合A中有4个元素，则A上的等价关系共有( C )个. (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 3.下列代数结构(G, *)中，( D )是群. (A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q, “*”是数的乘法. (C)G = Z, “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 4. 下列偏序集，( C )是格. 5. 不同构的(5, 3)简单图有( A )个. (A)4 (B)5 (C)3 (D)2 三、设, 若是满射，证明g是满射，并举例说明f不一定是满射. 证 对于任意，由于是满射，必存在，使得. 令，有，因此，g是满射. 设，，，令， ,.这时，，，显然有，是满射. 而ran f = {2, 3}，f不是满射. 四、在整数集合Z上定义关系R如下：对于任意 Z， . 判断R是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性. 证 (1)对于任意x ? Z, 由于, 所以(x, x) ? R, 即R是自反的. (2)因为(0, 0) ? R, 因此R不是反自反的. (3)对于任意x, y ? Z, 若(x, y) ? R, 则, 于是, 进而(y, x) ? R, 即R是对称的. (4)因为(2, -3) ? R且(-3, 2) ? R，因此R不是反对称的. (5)对于任意x , y, z ? Z, 若(x, y) ? R且(y, z) ? R, 则且，于是，所以(x, z) ? R, 即R是传递的. 综上所述，知R是自反的、对称的和传递的. 五、利用真值表求命题公式 的主析取范式和主合取范式. 解 命题公式的真值表如下： p qA1 1 1 0 0 1 0 00 1 0 00 1 1 11 1 0 0A的主析取范式为： . A的主合取范式为： 六、将6阶???全无向图K6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K3或蓝色的K3. 证 对于任意的的节点，因为，与邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设是红色. 若3条边，，是红色，则存在红色; 若，，都是蓝色，则存在蓝色.