种离散型随机变量的数学期望与方差.docVIP

数学之美 2006年7月第1期  PAGE \* MERGEFORMAT - 210 - 一种离散型随机变量的数学期望与方差 周恩来政府管理学院 社会学系 耿智妍 0512730 对于无穷项离散型随机变量的数学期望与方差的求解，经常困扰着文科学生，因而本文将引入幂级数的知识来解决概率分布为幂函数形式的一类无穷项离散型随机变量的数学期望与方差问题。 在高等教育出版社2003年8月出版的《文科数学基础》中，对离散型随机变量的数学期望与方差分别有如下定义： (1) 设离散型随机变量的概率分布为（），如果级数收敛,则称为离散型随机变量的数学期望。记为，即=。当级数不收敛时，则称离散型随机变量的数学期望不存在。 (2) 设为随机变量，称为离散型随机变量的方差，记为，即=。 该书给出了离散型随机变量方差的计算公式：若是离散型随机变量，并且其概率分布为（），如果其方差存在，则=。并且，对于所有随机变量方差的的计算，有简化公式：。 依以上定义可知，对于存在，的离散型随机变量，其取值既可以是有限多个，又可以是无穷多个。当取值个数有限时，可由定义中公式直接求得相应的，，但有无穷多个取值时，我们又应如何求解呢？特别是计算的简化公式中提到，这就涉及到了随机变量函数的数学期望。尽管该书中给出一有关定理：设随机变量是随机变量的函数，=，（是连续的实函数），当是离散型随机变量且其概率分布为（）时，若 收敛，则==。但是,在求解的实际操作过程时，仍会遇到一些问题。下面，本文将对以上问题进行讨论。首先，看下面一道例题： 例 随机变量具有分布（），求，，。 我们先按常规思路进行分析：具有分布（）， ==1+2+3+……+ n+… （1） 这可以看成是一个首项为1、公差为1的等差数列与首项为1/2、公比为1/2的等比数列的各项对应项相乘，所得到的一个新数列的各项和，即级数的和。可用“错位相减法”求解。即设 =1+2+3+……+ n+… 等式两端同时乘以等比数列的公比1/2得： =1+2+3+……+(n-1)+n+… 错位相减（以1/2的同次幂项对应相减）得 =+++……++… 等式右端为等比级数 ==1 (=,=) =2。 又，＝==12+22+32+……+n2+… 此时就无法利用以上求的方法求了，更无法求出。那么对于例题，级数是否收敛呢？是否存在呢？若存在，又如何求解？不得而知，该书没有给出判定此类级数收敛的方法。这里，其实涉及到了更深一层次的数学问题——幂级数及其收敛性，应用它，例题中的，，均可迎刃而解。 　　介绍一下级数的相关知识： 1．定义：具有形式=+…的级数，称为幂级数。当定点时，它具有更简单的形式=+…（下文中，若无特别说明，提及的幂级数均指其简单形式）。 2．敛散性：对幂级数利用比率法，设,则有 =＝。 （I) 若0+,则当0≤1,即1/时，幂级数收敛；当1,即1/时，幂级数发散。=1/是敛、散区间的分界点。幂级数的收敛半径＝1/； (II) 若＝0, 则,有=01,即级数总是收敛的其收敛半径＝+　 (III) 若＝+， 则,≠0,幂级数均发散。幂级数仅在＝0处收敛，＝0。 综上三点，幂级数中，＝（≠0），则收敛半径＝1/； 当＝0时，= +；当＝+时，＝0。 3．性质：幂级数的分析运算性质中，有这样一条：设幂级数的收敛半径为（0）,则其和函数在区间内可导,且有逐项求导公式： ==，其中, 逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 　　由以上知识，便可将例题中对，的求解，分别转化为求幂级数及幂级数的收敛区间，及在其收敛区间内求各自和函数问题。当然，例题只要求计算，，，而没要求对其存在性进行判断。这里，本文为您做简要判定： ＝，=||=1， =1/， =，=||=1，=1/。 ∴对幂级数，＝∈（-1，1）收敛，，存在。 这里指出，∵ ＝，∴ 的本质也是数学期望。 又，∵ ， 所以，，存在时，一定存在。 例题的求解过程如下： 解 在其收敛区间内，等比级数=，将其逐项微分得（）′＝==，故==。 当=1/2时即为＝==2， 将逐项微分得==，故 ==； 当=1/2时，即为＝==6。 ==2 综上，＝2，＝６，＝2。 　　至此，例题得解。以上结果，可以推广到更一般情形： 设离散型随机变量的取值为，其概率分布为，其中为自然数