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空间中夹角及求法 D B A C θ θ1 θ2 1.与求夹角有关的定理 （1）等角定理 （2）最小角定理：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有； （3）三余弦公式（cos=cosθ1cosθ2） （4）斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角) （5）余弦定理： 2.空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，大体步骤为：“作、证、求”三步曲。 （1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，最终通过解三角形求角 练习1..如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( ) . (B). (C). (D). 练习2.已知、是一对异面直线，且、成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与、均成60o角的直线有 条. 练习3.异面直线、互相垂直，与成30o角，则与所成角的范围是 . （2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 要点：确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 练习5.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是 ． 练习6．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. （4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； ③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 练习7.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。 P l C B A 练习8.空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别 为4、3、，求二面角的大小. 练习9： ，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值. 练习10ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°. 求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小C D P M B A