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立方体中的最短距离问题 2014-11-18 教学目的：应用线段公理解决立方体中的最短距离问题。 教学重点：立方体中的最短距离问题 教学难点：立体问题转化为平面问题 教学过程： 复习与引入 线段公理是____________________________ 勾股定理是直角三角形的__________,勾股定理的逆定理是直角三角形的____________(填“判定”或“性质”) 3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°。 ①若a=2，b=4，则c=________； ② 点C 到点A的最短距离为_______,点C 到点B的最短距离为_______ ③点C 到点AB的最短距离为_______, 二、问题探究1：如图所示：有一个长、宽、高都是2米，高为正方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着正方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 问题探究2：如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 问题探究3：如图所示：有一个长为6米，宽为4米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 分析：作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是=； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和6， 所以走的最短线段是=； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所以走的最短线段是=； 三种情况比较而言，第二种情况最短． 课堂小结：有一个长为a米，宽为b米，高为c米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 三、课堂练习： （1）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方??的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______________ 5 20 15 10 C A B （2）（分层提高）如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ B A B A 6m 3m 1m (3)(课后讨论) 在（2）中小蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点开始经过4个侧面绕n圈到达爬到B点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ 分析　要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解. 解　依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝＝10，即所用细线最短为10cm. 若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，即8n，由勾股定理，得＝，即所用细线最短为cm，或2cm. 四、课后作业 1、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　　． 2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为　_________　cm．