竞赛训练题之元函数微分学.docVIP

高等数学竞赛训练题三（一元函数微分学2） 一、马克老林公式与泰勒公式的应用 1. 当时，与为等价无穷小，则 。 二、利用罗比达法则求极限 2. 若当且趋向于时，与为等价无穷小，则 ， 。 3. 求。 4. 求。 5. 求。 6. 求。 三、导数在几何上的应用 7. 设在上可导，，单调上升，求证：在上单调上升。 8. 已知在区间上连续，且函数在上满足，又 ，证明：在闭区间上恒为一个常数。 四、导数在几何上的应用 9. 设在上二阶可导，求证：时，。 10. 假设，其中是实数，且，试证明： 参考答案： 应用三角函数化简得 由于所以 因时，原式所以 因为 所以于是 应用罗比达法则，并应用取对数求导法则，有 原式 令 原式 。 令 原式 令，则 应用拉格朗日中值定理，，使得 于是 由于单调上升，所以，代入上式得，故单调增。 假设在上不恒为常数，则由的连续性及知 ，使得是在上的最值。由费马定理，有，从而。 若是最小（大）值，必有，从而。又根据可知是极大（小）值，这与是最小（大）值矛盾，故在上恒为常数。 令，则 令，则 由此可得。 根据题意，有 由题意知时 由极限的局部保号性得 故