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高等数学教案 第四章 不定积分 高等数学课程建设组 PAGE 25 第四章 不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4? 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上? 可导函数F(x)的导函数为f(x)? 即对任一x?I? 都有 F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx? 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数? 例如 因为(sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函数? 又如当x ?(1? ??)时? 因为? 所以是的原函数? 提问: cos x和还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续? 那么在区间I上存在可导函数F(x)? 使对任一x ?I 都有 F ?(x)?f(x)? 简单地说就是? 连续函数一定有原函数? 两点说明? 第一? 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)? 那么f(x)就有无限多个原函数? F(x)?C都是f(x)的原函数? 其中C是任意常数? 第二? f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函数? 则 ?(x)?F(x)?C (C为某个常数)? 定义2 在区间I上? 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分? 记作 ? 其中记号称为积分号? f(x)称为被积函数? f(x)dx称为被积表达式? x 称为积分变量? 根据定义? 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数? 那么F(x)?C就是f(x)的不定积分? 即 ? 因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数? 例1??因为sin x 是cos x 的原函数???所以 ? 因为是的原函数???所以 ? 例2. 求函数的不定积分? 解：当x0时???(ln x)??? (x0)?? 当x0时???[ln(?x)]????? (x0)?? 合并上面两式???得到 (x?0)?? 例3 设曲线通过点(1? 2)? 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍? 求此曲线的方程? 解 设所求的曲线方程为y?f(x)? 按题设? 曲线上任一点(x? y)处的切线斜率为y??f ?(x)?2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数? 因为 ? 故必有某个常数C使f(x)?x 2?C? 即曲线方程为y?x 2?C? 因所求曲线通过点(1? 2)? 故 2?1?C? C?1? 于是所求曲线方程为y?x2?1? 积分曲线? 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线? 从不定积分的定义? 即可知下述关系? ? 或 ? 又由于F(x)是F ?(x)的原函数? 所以 ? 或记作 ? 由此可见? 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算? 以记号表示）是互逆的? 当记号与d 连在一起时? 或者抵消? 或者抵消后差一个常数? 二、基本积分表 (1)(k是常数)? (2)? (3)? (4)? (5)? (6)? (7)? (8)? (9)? (10)? (11)? (12)? (13)? (14)? (15)? 例4 ? 例5 ? 例6 ? 三、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和? 即 ? 这是因为, ?f(x)?g(x). 性质2 求不定积分时? 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来? 即 (k是常数? k ?0)? 例7. ?