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第八章　多元函数（一）二元函数的概念 教学目标： 熟悉二元函数的定义域并能计算定义域； 熟悉二元函数的几何意义。 重点难点： 二元函数的定义域与平面区域的性质 教法说明： 形象展示，给学生以几何直观的感受 课时安排: 1课时 教学过程： 前几章讨论的函数是因变量与一个自变量之间的关系，在此关系中，因变量的值只依赖于一个自变量，称这类函数为一元函数。但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，这时因变量的值依赖于几个自变量。 例：某种商品的市场需求量Q不仅与市场价格p有关，而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N有关，而且还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关，从而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个。这就需要研究多元函数的概念。 一、二元函数的定义 〖定义〗设为一个非空的二元有序数组的集合，为某一对应法则，使对于每一个有序数组，都有唯一确定的实数与之对应，则称对应规则为定义在上的二元函数，记为 其中，变量称为自变量，称为因变量，集合称为函数的定义域。对于所对应的值，记为 或 二、二元函数的定义域 二元函数的定义域为一个平面区域。 【例1】的定义域满足，即定义域为坐标平面上第一、三象限（包括坐标轴）的区域。用集合表示为。 【例2】的定义域满足，即。 则定义域为坐标平面内由圆所围成的平面闭区域（包括圆周在内）。 用集合表示为。 【例3】的定义域为，是平面上由圆所围成的平面开区域（不包括圆周在内）。 三、二元函数的几何意义 一元函数通常表示平面上的一条曲线，二元函数，其定义域是平面上的一个区域。对于中的任意一点，必有唯一的数与其对应。因此，三元有序数组就确定了空间内的一个点，所有这样确定的点的集合就是函数的图形，通常是一个曲面。 【例】二元函数的图形。 解： 二元函数的图形为以为球心，以1为半径的球面的上半部。 内容小结： 二元函数的定义域； 二元函数的图形。 复习思考： P362习题八 教学后记： 第八章　多元函数（二）偏导数与全微分 教学目标： 正确理解二元函数偏导数的概念； 熟练掌握二元函数偏导数的计算； 正确理解二元函数全微分的概念； 熟练掌握二元函数全微分的计算。 重点难点： 偏导数的定义及其计算法； 一元函数：可微?可导；二元函数：可微→可导，但反之不真。 教法说明： 比较教学法，通过一元函数与二元函数的比较，顺利推出二元函数偏导数的计算公式，进而得到多元函数偏导数的计算方法。 课时安排: 2课时 教学过程： 在研究一元函数时，已经看到了函数关于自变量的变化率(导数)的重要性。对于二元函数也同样有一个处于重要地位的函数变化率问题。因二元函数有两个自变量，且这两个自变量是彼此无关的，故可考虑函数关于其中的一个自变量的变化率，此时将另一个自变量看作不变。这种变化率称之为偏导数。 一、偏导数的概念及计算 〖定义〗设函数在点的某一邻域内有定义, 当固定在而在处有增量时, 相应地函数有增量 ， 如果存在, 则称此极限为函数在点处对的偏导数, 记为 ， 或 ， 类似地，函数在点处对的偏导数为 ， 或 ， 如果函数平面区域内每点处对（或）的偏导数存在，则称函数在内有对（或）的偏导函数，简称偏导数，记作 ， 或 ， 上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之。 【例1】求在点处的偏导数。 解： 【例2】求的偏导数。 解：， 【例3】求函数的偏导数。 解：， 【例4】设，求，。 解：， 二、全微分 对于一元函数，微分。 二元函数的全微分。 我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件。但对于多元函数则不然，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。即对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微。 【例1】求函数的全微分。 解： 【例2】求函数的全微分。 解： 内容小结： 偏导数的计算； 全微分的计算。 复习思考： P362习题八4（2）（3）,8（4） 教学后记： 第八章　多元函数（三）二重积分 教学目标： 正确理解二重积分的概念； 熟练掌握二重积分的基本性质； 熟悉二重积分的几何意义； 熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算。 重点难点： 型与型区域的表示方法； 直角坐标系下二重积分计算的步骤。 教法说明： 对照教学法：将二重积分与一元函数的定积分进行对照，使得学生在学习新知识的过程中，将原有知识与新知识有机的结合，从而达到举一反三的效果。 课时安排: 3课时 教学过程： 一、引入 一元函数定积分：求曲边梯形的面积——区间分割、近似替换、求和极限。 二元函数定积分：求曲顶柱体的体积——区域分割、近似替换、求和极限。 〖定义〗设是有界闭区域上的有