类比与猜想是应用数学归纳法.docVIP

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 难点31 数学归纳法解题 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a. 证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn (2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②设n=k时成立，即 则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) ＞()k·()=()k+1 ［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列. (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式. 解：∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 同理可得：a4=－,由此可推出：an= (2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立. ②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立 故Sk2=－·(Sk－) ∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk= (舍) 由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－) 由①②知，an=对一切n∈N成立. (3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0. ●锦囊妙记 (1)数学归纳法的基本形式 设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立. (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空题 3.(★★★★★)观察下列式子：…则可归纳出_________. 4.(★★★★)已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________. 三、解答题 5.(★★★★)用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*. 6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：. 7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果S2n＜3,求q的取值范围. 参考答案 难点磁场 解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这