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类氢离子精细结构能级的微扰计算 学生姓名 王百荣 指导教师 陈冠军 摘要 从Coulomb场中运动的电子的Dirac方程出发，取其非相对论极限导出了类氢离子的精细结构哈密顿的表达式(精确到项)。在此基础上将类氢离子的非相对论哈密顿的本征解作为零级近似，利用简并微扰论求解了类氢离子能级的精细结构，给出了精细结构能级的表达式。并以，和为例具体计算了其精细结构能级和实验数据比较。 关键词 类氢离子；相对论修正；精细结构；对角矩阵元 引言 1928年，P. A. M. Dirac建立了单电子的相对论性的波动方程―Dirac方程。之后不久，W. Pauli成功地应用此方程严格求解了氢原子能级的精细结构，所得的结果与当时的实验数据符合得非常好。现今所使用的相对论量子力学教材中大多都给出了氢原子的严格解，其中的一些还采用了不同的方法[1]。但这些教材中对氢原子的严格求解都需要较深的数学理论，本科生不容易理解和学习。本论文从Coulomb场中运动的电子的Dirac方程出发，取其非相对论极限得到类氢离子的精细结构哈密顿, 此哈密顿算符除了包含非相对论哈密顿算符之外还包含相对论的质量修正项、Darwin项和自旋轨道相互作用项(数量级为，为精细结构常数)。因而在本论文中，我们采用简并微扰理论来求解狄拉克方程，即将非相对论哈密顿的本征解作为零级近似，而将质量修正项、Darwin项和自旋轨道相互作用项作为微扰来计算，所得的精细结构能量公式与严格求解Dirac方程所得的结果相同。在此基础上我们进一步用此能量表达式计算了，和的精细结构能级并与实验数据做比较。这对于学生能够深入理解氢原子的精细结构能级和光谱的精细结构，更好地掌握初等量子力学特别是简并微扰理论，都有很好的参考价值。 1. 类氢离子的精细结构哈密顿 根据文献[2]，Coulomb场中运动电子所满足的狄拉克方程为： , (1) 其中　　 　 , . (1)式中和分别为电子的质量和电荷，是光速，是Coulomb场的标势(Coulomb势为中心势，只与有关)，和是的Dirac矩阵，在Pauli – Dirac表象中，其形式为 , . (2) 的Pauli矩阵表示为 　　 　　 　, , . 如令 　　　　　 　　　 　.　　　　　　　　 　　　　(3) 可得定态Dirac方程 　　　　　　　　　　　 　, 　　　　　　　　 　 　 , 即　　　　　　　 　. (4) 在Pauli-Dirac表象中，四分量的波函数可以表示为 　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(5) 其中都是二分量的波函数。利用(2)式和的矩阵形式，则方程(4)可以写成相应的矩阵方程 　　　　　 . (6) 此方程又可以写作两个的矩阵方程 　　　　　　　　　, (7a) 　　　　　　　 　 , (7b) 令(为电子的非相对论极限下的能量)则又有 　　　　　　　　　, 　 (8) 　　　　, (9) 由(8)可知 　　　　　　　　　　　　　　, (10) 从数量级上看： 　　　　　　　　　 　. (11) 即，因而称为“大分量”，所满足的方程为 　　　　　　 　　. (12) 利用可作近似展开 　　　　　　　　　　　　　, (13) (13)代入(12)得 . (14) 再利用[3] 　　　　　　　　　　　　. (15) 得 　　. 　(16) 在非相对论极限下 　　　 　, (17) 此外，由是中心势，有 , , .