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§2.2 各类函数导数的求法 一、复合函数的微分法 设有函数，，且在点可导，在相应的点处可导，则复合函数在点可导，且 或写为 。 此求导法则称为连式法则，可推广到多个函数的情况。 【注意】 此结论反过来不成立。 例如：①，，则在处，可导，但可导，不可导。 ②，，则在处，可导，但，都不可导。 例2.1 若，则 。 解：由复合函数的求导法则得： 。 例2.2 若，则 。 解：先求出的具体表达式，再求导。 则 。 例2.3 设，，求。 解： 。 二、参数方程的微分法 设，均为二阶导数，且，求由参数方程 所确定的函数的一、二阶导数 ； ? 例2.4设，求。 解：，，。 例2.5设，，求， 解：， ； 。 例2.6 设，求。 解：当，，当，。 ； 故 。 三、隐函数的微分法 由二元方程所确定的函数称为y是变量x的隐函数，其导数可按如下方法求出： 牢记y是变量x的函数，方程两边按复合函数求导的连式法则，对x求导。 注意：如 ，，，都是x的复合函数。 例2.7 设函数是由方程确定，求。 解：先求，再求。 方程两边对x求导得： ，?，。 例2.8 设函数是由所确定，求。 解：由得，由得，所以，。从而 ， 故 。 四、幂指函数微分法 ， 方法1：利用等式化 ? = 方法2：取对数求导法： 两边取对数化为隐函数：，然后利用隐函数的求导方法求导数。 例2.9 设函数是由方程确定，求。 解：，两边同时对对x求导，得 ?。 五、多因子函数的积、商、乘方、开方形式的微分法 方法：两边取对数化为隐函数，然后利用隐函数的求导方法求导数。 例2.10 设，求。 解：先将表达式写成指数幂的形式： 取对数得， 两边对x求导得， 六、分段函数的微分法 各区间段内导数的求法与一般所讲的导数求法无异，关键是函数分界点处的导数一定要用定义来求。 例2.11 设函数 （1）写出的反函数的表达式； （2）是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。 解：（1）=， （2），， 故在连续，类似地，在连续，即在定义域内无间断点，处处连续。 在处， 即在处可导。 在处，； 故在在处不可导。 例2.12 设函数，可导，求的导数。 解：讨论在处的导数。 == 当时，函数是可导的。 故 七、高阶导数 1．高阶导数的定义 定义 如果函数的一阶导数在点处的导数存在，便称此导数为函数在点处的二阶导数，记为，即 函数的导函数的一阶导数称为的二阶导数，记为或，即，还可记为，即。 的一阶导数称为的三阶导数，记为或或 的一阶导数称为的四阶导数，记为或或 ………… 的一阶导数称为的n阶导数，记为或或 2．高阶导数公式 3．高阶导数的求法： (1) 直接法： 所谓直接法是指求出所给函数的1～3阶或4阶导数后，分析所得的结果的规律性，从而写出n阶可导的方法。 例2.13 已知函数具有任意阶导数，且，求。 解：， ， ， 由归纳法易得：。 （2）间接法： 利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法，达到将给定的函数求出n阶导数的方法。 ① 分式有理函数的高阶导数 【解题方法】 1o 先将有理假分式通过多项式的除法化为整式与有理真分式之和； 2o 在将有理真分式写成部分分式之和； 3o 仿照的表达式写出有理函数的高阶导数。 例2.14 设，求。 解： =0+ =。 ② 由，（为自然数）的和、差、积所构成的函数的高阶导数 【解题方法】 利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变为，的和、差的形式，再利用公式：， 写出函数的高阶导数。 例2.15 设，求。 解： == == =. ③ 利用递推公式求高阶导数 例2.16 设，求。 解： ??，…， 显然，当x =0时，，，,…， 故 ，。