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第一章 行列式 1.1 行列式定义 一、排列 定义1.1 由自然数1 ，2 ，… ，n组成的全排列称为n级排列．记作 i1 i2 … in n级排列共有n!个. n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2 … in的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 ?（i1 i2 … in） ．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因??（1 2 … n）= 0，所以排列1 2 … n是偶排列。我们称此排列为自然排列. 在计算排列的逆序数时，为了不重复和漏掉，可从排列的第一个数开始计算它与后面的数构成的逆序数，然后再将这些数的逆序数相加即可得排列的逆序数. n级排列中互换两数的位置称为一次对换.若互换的是相邻两数，则称作相邻对换. 定理1.1 一次对换改变排列的奇偶性. 推论 在全部（n！）个n级排列中（n ≥ 2）?，奇排列、偶排列各占一半. 任意n级排列都可经有限次对换变成自然排列. 三、n阶行列式定义 定义1.2 将? 个数排成n行n列，记 D== （1.1） 其中，符号“ ”表示对全部n级排列求和， n阶行列式的展开式共有n！个项. 当n=1时，1阶行列式 = a11 ．为了不与绝对值混淆，今后直接用数表示. 当n=2时，2阶行列式 = = 称行列式从左上角至右下角的对角线为主对角线，从右上角至左下角的对角线为副对角线或次对角线. 2阶行列式的展开式等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上两个元素的乘积. 当n=3时，3阶行列式 = = 特殊行列式： 1. 三角行列式. （1）上三角行列式D = = a11 a22 … ann （2）下三角行列式D== a1n a2，n-1 … an1 定义1.4 D= = （1.2） 可以证明行列式的两个定义等价. §1.2 行列式的性质（常用于计算行列式） 1. 转置行列式 设n阶行列式D = ，将D中的行、列依次互换后所成的行列式称为D的转置行列式。记作 ．即 = 性质1 = D ． 性质2 互换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 推论 有两行(列)相同的行列式等于零 . 性质3 行列式中某行(列)的公因子可以提到行列式外面来.即 = k? 推论1 有一行（列）全为零的行列式等于零 . 推论2 有两行（列）成比例的行列式等于零. 性质4 若行列式D中某行的每个元素都是两数之和，则D可拆分成两个行列式： D = = ＋? = D1 ＋ D2 其中 D1=，D2= 性质5 将行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。即 §1. 3 行列式按行（列）展开定理（将高阶行列式转化为低阶行列式计算.） 一、行列式按一行（列）展开定理 例1 定义1.5 划去n阶行列式中元素aij 所在的行和列，其余（n-1）2个元素按原来的顺序组成的n －?1阶行列式称为元素aij 的余子式，记作 Mij ；记 Aij = ?Mij ，称Aij为元素aij 的代数余子式. 引理 若n阶行列式D的第i行元素中除aij 外全为零，则此行列式等于元素aij与它的代数余子式Aij的乘积. 即 D = = aij Aij 定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一行（列）的元素与其代数余子式的乘积之和.即 D = （i= 1 ，2 ，… ，n ） 或 D = （j = 1 ，2 ，… ，n ） 推论 n阶行列式D中任意一行（列）元素与其它行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零.即 = 0 （ s ≠ i ） = 0 （ s ≠ j ） 二、行列式按k行（列）展开定理——拉普拉斯（ Laplace ）定理 定义1.6 在n阶行列式D中任取k行、k列（1 ≤ k ≤ n）?，由这k行、k列的交叉点处的 个元素按原来的顺序组成的k阶行列式N称为D的一个k阶子式；在D中划去这k行、k列后余下的元素按原来的顺序组成的n － k阶行列式M称为N的余子式； 设这k行、k列的行标与列标分别为i1 ，i2 ，… ，ik 及 j1 ，j2 ，… ，jk? ，称 M 为N的代数余子式，记作A ． 定理1.3 （Laplace） n阶行列式D