线性代数(经管类)课堂笔记红字重点.docVIP

自考高数线性代数笔记 第一章 行列式 　　 1.1　行列式的定义 　　（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 　　注意：在线性代数中，符号不是绝对值。　　例如　，且； 　　（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积） 　　例如　 　　（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 　　例如　=0　　三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆 　　 　　方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。　　例如：　　（1）　　　　=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0　　（2）　　　　　　（3）　　　　　　（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如　　　　　　　　　　　　例1　a为何值时，　　[答疑编针对该题提问]　　解　因为　　　所以8-3a=0，时　　　例2　当x取何值时，　　[答疑编针对该题提问]　　解：.　　　　　　　　解得　　0x9　　所以当0x9时，所给行列式大于0。　　（二）n阶行列式　　符号：　　它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式通常也简记作。　　n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。 　　（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作 　　例如，在三阶行列式　　　　中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以　　　　相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以　　　　例1　若，求：　　（1）　　[答疑编针对该题提问]　　（2）　　[答疑编针对该题提问]　　（3）　　[答疑编针对该题提问]　　（4）　　[答疑编针对该题提问]　　解（1）　　（2）　　（3）　　（4） ? （2）符号叫元素的代数余子式定义：（系数其实是个正负符号） 　　例2　求例1中的代数余子式　　（1）　　[答疑编针对该题提问]　　（2）　　[答疑编针对该题提问]　　（3）　　[答疑编针对该题提问]　　（4）　　[答疑编针对该题提问]　　解：（1）　　　　（2）　　　　（3）　　　　（4）　　 （如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）　　例3　若　　计算 （以上两组数相等）　　[答疑编针对该题提问]　　解：　　　　　　　　由于　　　　　　与例3的结果比较，发现　　　　这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。 ? 定义：n阶行列式 　　即规定n阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为　　　　所以有　　　　特别情形　　　　　　例4　计算下列行列式　　（1）　　[答疑编针对该题提问]　　　　　　由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积　　（2）　　[答疑编针对该题提问]　　　　　　　　可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积　　一般地可推得　　　　即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积　　同理有 ? 1.2　行列式按行（列）展开 　　在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的