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习题二十 特征值与特征向量 相似矩阵 一、填空题： 1．阶方阵的不同特征值所对应的特征向量 线性无关 ；若是阶方阵的个特征值，则，。 2．已知三阶矩阵的三个特征值分别为，则 6 ， 2/9 。 3．设为阶方阵，有非零解，则必有一特征值为 0 。 4．假设阶矩阵的任意一行中个元素之和都为，则有一特征值为，对应于此特征值的一个特征向量是。 5．若是可逆阵的一个特征值，则有一特征值为。 6．已知向量是矩阵的一个特征向量，则 -2，1 。 二、求下列矩阵的特征值和特征向量： 1． 2． 解：， 解： 因此，。 因此 当时，解方程组， 当时，解方程组 故属于的特征向量为。 故属于的特征向量为。 当时，解方程组， 当时，解方程组 故属于的特征向量为。故属于的特征向量为， 其中不全为零。 三、设方阵与相似，求。 解：因为与相似，所以，从而， ，即 ，所以。 四、设三阶方阵的特征值为，，，对应的特征向量依次为， ，，求。 解：令，则 ， 所以， =。 五、设是阶阵的特征值，，分别是的属于的特征向量，证明：不是的特征向量。 证明：用反证法。若是的属于某特征值的特征向量，则 ， （1） 由于分别是的属于的特征向量，所以 ， （2） 由（1）、（2）可得： ， 所以 ， 因为，所以线性无关，因此。矛盾。 六、设是阶方阵，证明：与有相同的特征值。 证明：下证当是的特征值时也是的特征值，反之亦然。 当时， = = =。 当时， 。 所以，与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 七、证明： 1） 如果可逆，则与相似。 2）如果可逆，，则。 3）如果与相似，与相似，则与相似。 证明：1）因为可逆，所以所以与相似。 2）因为可逆，，所以，所以可逆。 存在可逆矩阵，使得，两边取逆从而有 ，即 ，亦即，所以。 3）如果与相似，与相似，则分别存在可逆矩阵使得 ， 令 ，则，从而 =。因此与相似。 八、设为两个阶矩阵，且的个特征值两两互异，若的特征向量恒为的特征向量，则。 证明：因为的个特征值两两互异，所以可对角化，设 的分别属于的特征向量（它们是线性无关的），令 ， 又因为的特征向量恒为的特征向量，所以也有个线性无关的特征向量，从而可对角化。设则。因此， =。 所以，。 习题二十一 特征值与特征向量 相似矩阵（续） 姓名 学号 班级 一、 填空题： 1．若矩阵与相似，则与的特征值 相同 ；阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量。 2．设是矩阵的一个特征值，是的对应于的一个特征向量，是矩阵的一个多项式矩阵，则的特征值是，其相应的一个特征向量是。 3．已知是的逆矩阵的特征向量，则 1，-2 。 4．设是阶方阵，的个特征值分别为，则 ！！。 二、已知是矩阵的一个特征向量。 1）试确定系数及特征向量所对应的特征值。 2） 问在实数范围内能否相似于对角阵？说明理由。 解：1）设是的对应于特征值的特征向量，则 所以，，从而。 2） 上述特征方程在实数范围内只有一个解 因此在实数范围内不能相似于对角阵。 三、判断下列矩阵是否与对角阵相似，如果相似，求出相似变换矩阵，使得为对角阵： 1． ； 解：由知的特征值为当时，解方程组， 是的属于的线性无关的特征向量，当时，解方程组， 是的属于的线性无关的特征向量，由于只有两个线性无关的特征向量，所以不可与对角阵相似。 2．。 解：由知的特征值为当时，解方程组， 是的属于的线性无关的特征向量，当时，解方程组， 是的属于的两个线性无关的特征向量。所以，可与对角阵相似。令 则有。 四、设矩阵与矩阵相似，其中，。1）求和的值；2）求可逆矩阵，使得。 解：1）因为矩阵与矩阵相似，所以有相同的特征值、迹。由于 ，所以有特征值-2，注意到的特征值为所以。又由可得：，。 2）当时解方程组可得是的属于特征值的特征向量。类似可得是的属于特征值的特征向量。是的属于特征值的特征向量。令，则有。 五、设，求1）的所有特征值与特征向量；2）判断能