线性代数习题部分答案.docVIP

第二章 向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一） 一、 填空题 1. 设, 其中, 则 . 2. 设 则线性组合 . 3. 设矩阵，设为矩阵的第个列向量， 则 . 二、 试确定下列向量组的线性相关性 1. 解：设 则 即 ，线性无关。 2. 线性相关 三、设有向量组 ，问取何值时该向量组线性相关。 解：设 则 即 所以，, 线性相关; , 线性无关 四、设线性无关，线性相关，求向量用线性表示的表示式。 解：因为线性相关，所以存在不全为零的，，使得 即+b=.又因为线性无关，所以+，于是，b=. 五、已知向量组，令，求证向量组线性相关。 解：因为， 所以，向量组线性相关。 §2-2线性相关与线性无关（二） 一、 设线性相关，线性相关，问是否一定线性相关？并举例说明之。 解：取,. 线性相关。 取,. 线性无关。 二、举例说明下列各命题是错误的： 1．若向量组是线性相关的，则可由线性表示。 解：取. 2．若有不全为0的数,使 成立，则是线性相关，是线性相关. 解：取,. 3． 若只有当全为0时，等式 才能成立，则是线性无关，是线性无关。 解：取,. 4．若是线性相关，是线性相关，则有不全为0的数，使 同时成立。 解：取,. 三、 设向量组线性相关，且,证明存在某个向量)，使能由线性表示。 证明：因为向量组线性相关，所以存在不全为零的，，使得。设，，中最后一个不为零的数是，即，，又因为，所以，。即有)，使得，于是，，命题得证。 四、 已知, 证明：（1）能由线性表示。（2）不能由线性表示。 证明：（1）因为，所以线性无关，由定理1知也线性无关；又因为，所以，线性相关，由定理3得能由线性表示。 （2）反证法。假设能由线性表示。再利用（1）的结果，可推出能由线性表示，由定理2得线性相关，与矛盾。所以，不能由线性表示。 五、 设,,，且向量线性无关，证明向量组线性无关。 证明：设 ，则 而向量线性无关，所以， 所以，向量组线性无关。 §2-3 极大无关组（一） 一、 证明n阶单位矩阵的秩为n. 证明：n阶单位矩阵的列向量组为, 设, 则 所以，线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n. 二、 设矩阵其中)则. 证明：设矩阵的列向量组为 设, 则 所以，线性无关，秩为n，则. 三、 求下列向量组的秩 1. R=3 2. 解：A=()= 所以，R ()=2, 为极大无关组。 四、 设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。 证明：因为维单位坐标向量能由线性表示，所以，，而，，所以，于是，线性无关。 五、 设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。 证明：充分性：如果任一维向量都可由线性表示，则维单位坐标向量能由线性表示，利用上一题的结果，线性无关。 必要性：如果线性无关，对于任一维向量. 如果,则，所以，向量能由线性表示。 如果，则这n+1个n维向量线性相关，而线性无关，由定理3得向量能由线性表示。 （另证：如果线性无关，而的维数是n，所以为的一组基，所以中的一维向量都可由它们线性表示。） §2-3 极大无关组（二） 一、 设为同阶矩阵，求证。 证明：设A的列向量组为，极大无关组为；B的列向量组为，极大无关组为. 则A+B的列向量组为能由(A,B)的列向量组线性表示，所以，. 又(A,B)的列向量组能由，所以， . 二、设向量组能由向量组线性表示 其中为矩阵，且线性无关。证明线性无关的充分表要条件是矩阵的秩为. 证明　若组线性无关 令则有 由定理知 由组:线性无关知，故. 又知为阶矩阵则 由于向量组:能由向量组:线性表示,则 　 综上所述知即． 若,则的列向两组线性无关。 令,其中为实数 则有 又, 则 由于线性无关, 所以.由的列向两组线性无关知 三、设 证明：向量组与向量组等价。 证明：因为 所以，向量组可以由向量组线性表示。 把各式相加后得 可得 所以，向量组可以由向量组线性表示。 由上，向量组与向量组等价。 四、已知3阶矩阵与3维列向量满足，且向量组线性无关，记 ，求3阶矩阵使. 提示： §2-4§2-5 向量空间，内积与标准正交基 一、设, , , 问是不是向量空间，为什么？ 答： 是，不是，是 二、 验证： 为的一个基, 并把 用这个基线性表示. 解：()= 所以，. 三、 证明中不存在n+1个线性无关的向量，从而中不存在n+1个两两正交的非零向量。 证明：因为的维数是n，所以中不存在n+1个线性无关的向量。 又因为两两正交的非零向量，中不存在n+1个两两正交的非零向量。 四、把下列向量组规范正交化 解：；