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在前面的例中，对矩阵 ， 其两个特征值 与0（二重），对应的特征向量分 别 , 不难发现， 线性无关 线性无关 , 线性无关 定理 设是矩阵的互不相同特征值，是属于的线性无关的特征向量，则线性无关。 … ， ，…， A的特征向量集合的线性无关组 ，方阵；，特征值； ① 设 ，且 则称 是特征值 的代数重数 ② 设的维数为 ，则称 是特征值 的 几何重数 定理 设是方阵的特征值，则 的几何重数不大于其代数重数。 互异特征值 … 特征值的代数重数 … 特征值的几何重数 … 与的关系 … 的阶数； 线性无关特征向量最大个数； 定理 设 是n阶方阵A的全部互异的特征值，和分别是特征值的代数重数和几何重数(i =1, 2,…, m)，则A可对角化的充分必要条件是 =，i =1, 2,…, m 例 判断矩阵 可否对角化。 解 的特征值为2和1（二重）。 对 ，解 ： 令 ，故特征值1的几何重数为1，小于其代数重数2，故不可对角化。▌ 例 已知 ， 问 满足什么条件时，可对角化？ 解 有重特征值 。对方程组 ， 仅当 秩 时，才能使基础解系含 个解。 又 故 。 有特征值 (二重)与 。对特征值 ，仅当 秩 时，才能使方程组 的基 础解系含个解。 ， 因 ，故 秩。此时任意。 结论：当 或 时，可对角化。▌ 例 设 。 求 。 解 ∵ ∴ 有特征值 和 （三重）。 对 ，解 得基础解系 故 重特征值有个线性无关的特征向量，由此得 可对角化。 对 ，解 得基础解系 。 令 ， 则 。 由此得 。 于是， 。▌ §５．３　实对称矩阵的相似对角化 一、对称矩阵的特征值和特征向量 ，阶实对称矩阵 ，阶正交矩阵 Q的列向量是A的特征向量 Q的列向量组标准正交 关键：求 的 个标准正交的特征向量。 定理 实对称矩阵的特征值都是实数。 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。 证明 A，实对阵矩阵；的两个不同的特征值；的对应于 的特征向量。 因 ， 故 又 ，所以 ，即 。 由此得 X与Y正交。▌ 二、实对称矩阵的相似对角化 定理 设是n阶实对称矩阵A的任一特征值，p、q分别为 的代数重数和几何重数，则 p = q。 推论 实对称矩阵可对角化。 例 已知矩阵 有特征值 1(二重)和 3，对应的特征向量为 。 容易验证，是正交向量组。令 则 是标准正交的特征向量。 令 ， 则 Q是正交矩阵且 。▌ 例 已知矩阵 有特征值 2(二重)和 -7，对应的特征向量为 。 容易验证， 但与不正交。 对 与 进行Schmidt正交化： ， 则与也是A对应特征值2的特征向量。这样， ,,(=)是两两正交的特征向量。 再令 则 是标准正交的特征向量。 令 ， 则 Q是正交矩阵且 。▌ 定理 对任一n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵Q，使得 其中 为矩阵A的全部特征值。 … ，，…， ↓ ↓ ↓ 正交化 ， ，…， ↓ ↓ ↓ 单位化 ， ，… ， 其中， ，，…， 是线性无关的特征向量， ，，…， 是两两正交的特征向量， ，，… ，是标 准正交的特征向量。 若令 Q = [，，… ，], 则Q是正交矩阵且 。▌ 例 求正交矩阵Q，使 为对角矩阵， 。 解 ∵ ∴ A的特征值为 2 (三重)和 -2 对 ，解 得基础解系 ,, 正交化： ， 单位化： 对 ，解 得基础解系 令 。 取 ， 则 。▌ 例 设A是3阶实对称矩阵，特征值为1 (二重)和2，且已知A属于2的一个特征向量 。求A。