线性代数第.docVIP

　　　 第二讲 行列式的性质 P10 -30§1.3 行列式的性质 1、转置行列式 把行列式D的行变换成列、 列变换成行得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT（或 D′）。 设 a11 a12 … a1n D= a21 a22 … a2n ……….……….. an1 an2 … ann 则 a11 a21 … an1 DT= a12 a22 … an2 ……….……….. a1n a2n … ann 称为D的转置行列式。 性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即DT =D。 证：行列式D的一般项为：(-1) N(12…n)+ N(j1j2…jn) a1j1a2j2…anjn , 而将它转置后,在DT中这相同的n个元素相乘的一般项为： (-1) N(j1j2…jn)+ N(12…n) bj11bj22…bjnn 其中设DT=B=|bij|, bjii= aiji, 可见两者的符号相同, 因子也一样, 因此一般项相同, 结论成立。 如: 147 -8 147 23 23 589 = -8 589 性质2 交换行列式的两行（或两列），行列式的值变号。 证： a11 a12 … a1n ……….……….. ai1 ai2 … ain = ……….……….. ak1 ak2 … akn ……….……….. an1 an2 … ann a11 a12 … a1n ……….…………………. ai1+ ak1 ai2+ ak2 … ain+ akn ……….………………….. = ak1 ak2 … akn ……….………………….. an1 an2 … ann a11 a12 … a1n ……….……….. ai1+ ak1 ai2+ ak2 … ain+ akn = ……….……….. -ai1 -ai2 … -ain ……….……….. an1 an2 … ann a11 a12 … a1n ……….……….. ak1 ak2 … akn ……………….. -ai1 -ai2 … -ain = .………………….. an1 an2 … ann a11 a12 … a1n ……….……….. ak1 ak2 … akn = - ……….……….. ai1 ai2 … ain ……….……….. an1 an2 … ann 这里，第一步是利用性质5，把第k行的1倍加到第i行,第二步 是把第i行的(-1)倍加到第k行,第三步是把 第k行加到第i行,最后再把第k行的公因子 (-1)提出。 结论得证。 同理有交换列的情形。 如 147 -8 = - 23 589 23 589 147 -8 147 -8 = - -8 147 23 589 589 23 推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为0。 由上述性质2，交换这两个对应元素相同的行（列）得到，D= -D ,所以有 D=0。 如 147 -8 = 147*（-8）-147*（-8）=0 147 -8 性质3 用数k乘以行列式的某一行（列）等于用数k乘此行列式。 设D=|aij|, 则 a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n ……….……….