线性代数考试题及答案.docVIP

2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 评阅人:_____________ 总分人：______________ 得分 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式 (A) (B) (C) (D) 【 】2.设为阶方阵，数，，则 (A) (B) (C) (D) 【 】3.已知为阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A) (B) (C) (D) 【 】4.设为阶方阵, ，则 (A) （B) (C) (D) 【 】5.设矩阵与等价，则有 (A) (B) (C) (D) 不能确定和的大小 【 】6.设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是 (A) (B) (C) (D) 【 】7. 向量组线性相关的充分必要条件是 (A) 中至少有一个零向量 (B) 中至少有两个向量成比例 (C) 中每个向量都能由其余个向量线性表示 (D) 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 【 】8. 阶方阵与对角阵相似的充分必要条件是 (A) (B)有个互不相同的特征值 (C)有个线性无关的特征向量 (D)一定是对称阵 得分 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知阶行列式的第行元素分别为，它们的余子式分别为，则 。 2.设矩阵方程，则 。 3.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应齐次线性方程组的基础解系，则非齐次线性方程组的通解为 . 4.设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的最大无关组的秩 。 5.设是方阵的特征值，则 是的特征值 得分 三、计算题(每小题8分,共40分). 1．计算行列式。 2.已知矩阵，求其逆矩阵。 3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量且 ，，求该方程组的通解。 4.求矩阵的特征值和特征向量。 5.用配方法化二次型成标准型。 得分 四、综合体(每小题8分,共16分) 解下列非齐次线性方程组 已知向量组 求向量组的秩；向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。 得分 五、证明题（5分） 证明：设阶方阵满足，证明及都可逆，并 求及。 一、单项选择题。(每小题3分,共24分 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1. 2. 3. 4. 5. 三、计算题(每小题8分,共40分). 1. 解：=………………（2分） =………………（2分） =………………（2分） =0………………（2分） 2.已知矩阵，求其逆矩阵。 解： ………………（2分） ………………（4分） 则………………（2分） 3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量且 ，，求该方程组的通解。 解：由已知可得：对应的齐次线性方程组的解集的秩为，因此齐次线性方程组的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（3分） 令 则 所以为齐次线性方程组的一个基础解系。………（3分） 由此可得非齐次线性方程组的通解为： ………………（2分） 4.求矩阵的特征值和特征向量。 解：的特征多项式为： 所以的特征值为。………………（4分） （1）当时，对应的特征向量满足 ，解得： 则对应的特征向量可取………………（2分） （2）当时