线性代数课后习题答案总主编邹庭荣主编李仁所张洪谦矩阵的对角化与次型的化简习题解答.docVIP

习题4 4-1.设有一个特征值2，求的一个特征值． 解 若的特征值为，则的特征值为， 计算得. 4-2.设是3阶方阵，已知方阵，，都不可逆，求的全部特征值． 解 由，，都不可逆，知 ，即，, 得的特征值为． 4-3.已知矩阵的特征值为，，求． 解 由特征值的性质知 ，即 ，所以． 4-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量．若可以对角化，求出可逆矩阵，使为对角矩阵： （1）． 解 由特征方程 , 解得矩阵的特征值. 对于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 有3个线性无关的特征向量 ，，， 所以可以对角化． 令 ， 则可逆，且有 ． （2） 解 由特征方程 , 解得矩阵的特征值． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 对于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 只有2个线性无关的特征向量，所以不可对角化． （3）． 解 由特征方程 , 解得矩阵的特征值． 对应于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ，， 所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为 ，. 对于特征值，解方程组 ， 即 ， 得基础解系 ， 所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为 ． 有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化， 令 ， 则可逆，且有 ． 4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵： （1）． 解 令 ， 由于，所以不是正交矩阵． （2）． 解 因为 ， 故是正交矩阵． 4-6.求正交矩阵，使为对角形矩阵： （1）． 解 由特征方程为 ， 得的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个极大线性无关特征向量组 ，, 将正交化，得 ，， 将标准化，得 ，， 令 ， 则为正交矩阵，且有． （2）． 解 由特征方程为 ， 得的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的线性无关的特征向量为 ， 已正交只须将单位化，得 ，； 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的线性无关特征向量 ， 将单位化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的线性无关特征向量 ， 将单位化，得 ， 令 ， 则为正交矩阵，且有. 4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式： （1）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 矩阵的特征方程为 ， 故的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 令 ， 则通过正交变换 即可将二次型化为标准形式. （2）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 矩阵的特征方程为 ， 故的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 令 ， 则通过正交变换 即可将二次型化为标准形式. （3）． 解 二次型的系数矩阵为 ， 矩阵的特征方程为 ， 故的特征值为． 对于，解方程组 ， 即 , 得属于特征值的线性无关的特征向量为 ，，， 将正交化，得 ，，， 将正交化，得 ，，. 对于，解方程组 ， 即 ， 得属于特征值的一个特征向量 ， 将标准化，得 . 令 ， 则通过正交变换 即可将二次型化为标准形式. 4-8.试证：如果为正定矩阵，则也是正定矩阵． 证 因为为正定矩阵，则为是实对称矩阵， 而 ， 所以也是对称矩阵. 设的特征值为，则的特征值为 因为为正定矩阵，所以，故，从而知也是正定矩阵. 4-9.判别下列二次型是否正定或负定： （1）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的三个顺序主子式 ， 所以二次型是正定的. （2）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的三个顺序主子式 ， 所以二次型是负定的. （3）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的四个顺序主子式 所以二次型是不定的. （4）. 解 二次型的系数矩阵为 ， 二次型的四个顺