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第七章 线性变换综合练习 一．判断题 1.数域上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ ） 2．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )). 3．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( ) 4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( ) 5．取定, 对任意的阶矩阵, 定义, 则是的一个线性变换. 6．向量空间的可逆线性变换的核是空集.( ) 7．在向量空间中, 已知线性变换 则. ( ) 8．设为维向量空间上的线性变换，则．（ ） 9．向量空间的两个线性变换,为； 则（ ） 10．在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （ ） 11．数域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （ ） 12．若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取 也是的属于的特征向量．（　　 ） 13． 线性变换的本征向量之和, 仍为的本征向量. （ 　　 ） 14．属于线性变换同一本征值的本征向量的线性组合仍是的本征向量. （　　 ） 15．线性变换在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. （　　 ）. 16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( 　 　) 17．是向量空间的线性变换, 向量组线性无关, 那么也线性无关． (　 　) 18．向量空间的线性变换的值域与的核都是的不变子空间． (　 ) 19．若矩阵与具有相同的特征多项式，则与相似． ( ) 20．向量空间中子集构成的一维子空间. (　 　) 21．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空间.（　　 ） 22. 是向量空间的线性变换, 向量组线性相关, 那么也线性相关. （　　） 23. 为V上线性变换，为V的基，则线性无关． 24. 在中，定义变换：，则是的线性变换．（ 　） 25. 向量空间中任意两个子空间的并集一定不是的子空间. （ ） 26. 向量空间的每一个线性变换都有本征值. （ ） 27. 是向量空间的一个变换，,若 ，有，则是的线性变换. （ 　） 28. 如果阶矩阵可逆，则矩阵与一定相似．（ 　 ）． 29. 阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是． 30. 为V上的非零向量，为V上的线性变换，则是V的子空间． 二、单选题 1．维向量空间的线性变换有个不同的特征值，是与对角矩阵相似的（ 　 ）． A．充分而非必要条件；　　　　 B．必要而非充分条件； C．充分必要条件； 　　　　　　　D. 既非充分也非必要条件． 2．矩阵相似，则下列描述中不正确的是（ ） A．； 　　 B． 是数域上的多项式，则； C．； D．一定相似于对角形矩阵. 3. 阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ). A．充分而非必要条件； B必要而非充分条件； C．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件． 4. 令是R3的任意向量，则映射（ ）是R3的线性变换。 A． ； B．； C． ； D．． 5．设是数域上向量空间的线性变换，是的子空间，如果对于中任意向量有，则称是的（　 　）子空间．　　 A．非平凡；　 B．不变；　 　C．核；　 　D．零． 6. 设是向量空间V的一组基，线性变换在此基下矩阵为，则在下的矩阵为( ) A． B． C． D． 7．设3阶矩阵的特征值为1，3，5，则的行列式||等于（　　　） A．3; B．4; C．9; D．15 8．设均为n阶矩阵,且相似，则下列结论正确的是（　 　　） A．有相同的特征值和特征向量; B．; C．都相似于一个的对角矩阵; D．对任意常数都有，. 9． A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根，则A的伴随矩阵的特征根之一是（ ） A．; B．; C．; D． 10．是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵 有一个特征值是（ ） A．; B．; C．; D． 11．n阶矩阵A相似于某对角矩阵，则（ D ） A．r(A)=n; B．A有不同的特征值; C．A是实对称矩阵; D．A有n个线性无关的特