线性方程组习题解答.docVIP

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）. 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ， 即 （其中是自由未知量）， 令，得到方程组的一个基础解系 , 所以，方程组的通解为 为任意常数． （2）. 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ， 即 （其中是自由未知量）， 令，，得到方程组的一个基础解系 ，， 所以，方程组的通解为 ，为任意常数． （3）． 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ， 即 （其中是自由未知量）， 令，，得到方程组的一个基础解系 ，， 所以，方程组的通解为 ，为任意常数． 3-2．当取何值时，方程组 有非零解？ 解 原方程组等价于 , 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 ， 即 ， 从而当和时方程组有非零解． 3-3．求解下列非齐次线性方程组： （1）. 解 对增广矩阵施行行初等变换 ， 因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 （其中为自由未知量）， 令，得到非齐次方程组的一个解 ， 对应的齐次方程组（即导出方程组）为 （其中为自由未知量）， 令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系 ，, 方程组的通解为 ， 其中为任意常数． （2）. 解 对增广矩阵施行行初等变换 ， 因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换 ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 （其中为自由未知量）， 令，得到非齐次方程组的一个解 , 对应的齐次方程组（即导出方程组）为 （其中为自由未知量）， 令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系 ，， 方程组的通解为 ,其中为任意常数． （3）． 解 对增广矩阵施行行初等变换 ， 因为，所以方程组无解. 3-4．讨论下述线性方程组中，取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解． ． 解 方程组的系数行列式为 . （1）当时，即时，方程组有惟一解． （2）当时，即时， (i) 当时,原方程组为 ， 显然无解． (ii) 当时，原方程组为 ， 对该方程组的增广矩阵施行行初等变换 ， 因为，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为 ， 即 （其中为自由未知量）， 令，得到非齐次方程组的一个解 ， 对应的齐次方程组（即导出方程组）为 （其中为自由未知量）， 令，得到对应齐次方程组的一个基础解系 ， 方程组的通解为 ，其中为任意常数． 3-5．写出一个以为通解的齐次线性方程组． 解 由已知，和是齐次线性方程组的基础解系，即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，故可设系数矩阵 , 由可知和满足方程组 , 即方程组的线性无关的两个解即为, 方程组的系数矩阵 , 该方程组等价于 （其中为自由未知量）， 令，，得到该齐次方程组的一个基础解系 ，， 故要求的齐次线性方程组为，其中, 即 . 3-6．设线性方程组 ， 的解都是的解，试证是向量组 ,,?,的线性组合． 证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是的解，所以方程组（*）与方程组 , 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组 和的秩相同，故可由线性表示． 3-7．试证明：的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解． 证 必要性.因为，只须证与的基础解系相同．与的基础解系都含有个线性无关的解向量．又因为的解都是得解．所以的基础解系也是的基础解系．即与有完全相同的解．所以的解都是的解． 充分性.因的解都是的解，而的解都是的解，故与有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故，所以． 3-8．证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使． 证 充分性.若存在列向量及行向量，其中不全为零，，则有 , 显然矩阵的各行元素对应成比例，所以． 必要性.若，则经过一系列的初等变换可化为标准形 ， 而矩阵可以表示为 ， 则存在可逆矩阵，使得，从而 ，其中均可逆， 记 ，　， 又因为可逆，则至少有一行元素不全为零，故列向量的分量不全为零，同理，因为可逆，所以行向量的分量不全为零．因此，存在非零列向量及非零行向量，使． 补充题 B3-1.设是矩阵，是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）. （A） 若仅有零解，则有惟一解； （B） 若有非零解，则有无穷多个解； （C） 若有无穷多个解，则仅有零解； （D） 若有无穷多个解，则有非零解． B3-2.设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）； （ⅱ）， 必有（ D ）． （A）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ