线性方程组的解法讨论与应用朱全民.docVIP

线性方程组的解法讨论与应用 朱全民 线性方程组形式如下： 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下： （一）消元过程 第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得 由(3)-4×(1)(1)得 第二步：将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1，得 再将(3)(1)式中x2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2) ，得 第三步：将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组： （二）回代过程 由(3)(3)得 x3=1, 将x3代入(2)(2)得x2=-2, 将x2 、x3代入(1)(1)得x2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程 第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步：然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 （1） 将某行同乘或同除一个非零实数 （2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换 第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下： 示例： （四）高斯消元的公式 综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1． 消元 （1） 令 aij(1) = aij , （i,j=1,2,3,…,n） bi(1) =bi , （i=1,2,3,…,n） （2） 对k=1到n-1，若akk(k)≠0，进行 lik = aik (k) / akk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） aij(k+1) = aij(k) - lik * akj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） bi(k+1) = bi(k) - lik * bk(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2． 回代 若ann(n) ≠ 0 xn = bn(n) / ann(n) xi = (bi(i) – sgm(aij(i) * xj )/- aii(i) ,（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件 消元过程要求aii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求ann(n) ≠0,但就方程组Ax=b讲，aii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式Di（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(aii(i) ≠0,ik)，这时计算的A(k)顺序主子式: D1= a11(1) D2= a11(1) a22(2) …… Dk= a11(1) a22(2)…ak,k(k) 有递推公式 D1= a11(1) Di= Di-1 aii(i) (i=2,3,…,n) 所以有 定理：高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵A的1到n-1阶的顺序主子式不为0。 （六）选主消元 因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。当| akk(k)|1，此时用它作除数。会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。 例如： 0.00001x1+x2 = 1.00001 2x1+x2 = 3 解： 代入得到x1=0,x2=1。显然，严重失真 换主元，将两行交换，如下， 代入得到x1=1,x2=1,答案正确。 总结：在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。 （六）解的判断 设方程组的增广矩阵记为，则经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)： 其中cii10(i=1，2，…，r)．于是可知： (1).当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解． (2).当dr+1=0，且rn时，原方程组有无穷多解． (3).当dr+110，原方程组无解． 二、LU分解法 求解线性代数方程组除了高斯消元法外，还常用LU分解法（三角形分解法）。LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组。 设n阶线性方程组Ax=b 假设能将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积，即A=LU ，式中，L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零。 所以有，LUx=b 令 Ux=y 则 Ly=b 由A