线面垂直习题精选[].docVIP

线面垂直练习 1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD． 2 如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC． 求证：BC⊥平面PAC． 　 　 3 如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 5 如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC． 6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD 证明：过A作AO⊥平面BCD于O 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： . 证：取PD中点E，则 9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠AED=60°，求证:AE⊥平面ABC 分析： 弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG∥BC，AD⊥BC ∴AE⊥FG ∴AE⊥BC 设AE=a，则ED=2a 由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2?AE?EDcos60° =3a2 ∴ED2=AD2+AE2 ∴AD⊥AE ∴AE⊥平面ABC 10如图, 在空间四边形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面ANM 分析: ①要证AN?BC, 转证, BC?平面SAB。 ②要证SC?平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC?AM, SC?AN。要证SC?AN, 转证AN?平面SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面ABC ∴SA?BC 又∵BC?AB, 且ABSA = A ∴BC?平面SAB ∵AN平面SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且SBBC = B ∴AN?平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且AMAN = A ∴SC?平面ANM 11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可 证明：取BC中点D 连结AD、PD ∵PA=PB；∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形 同理ΔPAC为正三角形 设PA=a 在RTΔBPC中，PB=PC=a BC=a ∴PD=a 在ΔABC中 AD= =a∵AD2+PD2= =a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面PBC ∴平面ABC⊥平面PBC 13 以AB为直径的圆在平面内，于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。 解： 面AEF ［例1］ 如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC． 【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO， 则AO⊥BC，SO⊥BC， ∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=a， AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC． 【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法． ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． 图9—40