线面垂直测试题.docVIP

1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD． 证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，， ∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥． 设正方体棱长为，则，． 　　 在Rt△中，．∵，∴． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD． 2 如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 　 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D． 因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， 平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵平面PBC，∴AD⊥BC． ∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． 3 如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，． 　　证明：∵平面ABCD， 　　∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵，∴． ∵，∴． 又，∴平面CDF． ∵平面CDF，∴． 又，，　 ∴平面ABE，． ∵，，， ∴ 平面BCD． 5 如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC． 证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴． ∵平面ABC，平面ABC， ∴．∴平面APC． ∵平面PBC，　 ∴平面APC⊥平面PBC． ∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC． ∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC． 6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD 证明：过A作AO⊥平面BCD于O 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： . 证：取PD中点E，则 9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠AED=60°，求证:AE⊥平面ABC 分析： 弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG∥BC，AD⊥BC ∴AE⊥FG ∴AE⊥BC 设AE=a，则ED=2a 由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2?AE?EDcos60° =3a2 ∴ED2=AD2+AE2 ∴AD⊥AE ∴AE⊥平面ABC 10如图, 在空间四边形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面ANM 分析: ①要证AN?BC, 转证, BC?平面SAB。 ②要证SC?平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC?AM, SC?AN。要证SC?AN, 转证AN?平面SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面ABC ∴SA?BC 又∵BC?AB, 且ABSA = A ∴BC?平面SAB ∵AN平面SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且SBBC = B ∴AN?平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且AMAN = A ∴SC?平面ANM 1．在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（　　） A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD 【解析】由AD⊥BC，BD⊥AD AD⊥平面BCD，面AD平面ADC ∴平面ADC⊥平面BCD． 【答案】C 2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（　　） A．a B．a C．a D．a 【解析】取A1C的中点O，连结AO，∵AC=AA1，∴AO⊥A1C 又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又∵BC⊥AC∴BC⊥AO， 因AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离