线面平行垂直面角解答题含答案.docVIP

线面平行、垂直、二面角解答题含答案 1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面DEF. 证明　(1)如图，连接AC交BD于O.连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点， 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO. 而EO?平面EDB且PA?平面EDB. 所以PA∥平面EDB. (2)∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD， ∴PD⊥DC， ∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴DE⊥PC，① 同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC. 而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.② 由①和②推得DE⊥平面PBC. 而PB?平面PBC，∴DE⊥PB， 又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD. 2．某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点． (1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.  (1)解　(1)该几何体的直观图如图所示． (2)证明　如图所示，①连接AC、BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD. 又OG?平面AGC，PD?平面AGC， 所以PD∥平面AGC. ②连接PO，由三视图可知PO⊥平面ABCD， 所以AO⊥PO. 又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD. 因为AO?平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC. 3．如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点． (1)求证：ED⊥AC； (2)若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值． (1)证明　在矩形ADEF中，ED⊥AD， ∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD， ∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AC. (2)解　由(1)知：ED⊥平面ABCD， ∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD＝45°，[来源:学科网ZXXK] 设AB＝a，则DE＝BD＝2a， 取DE中点M，连接AM， ∵G是AF的中点， ∴AM∥GE， ∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角． 连接BD交AC于点O，连接MO. ∵AM＝CM＝ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2)a))2＝6)2a， O是AC的中点， ∴MO⊥AC， ∴cos∠MAC＝AOAM＝\r(22\r(62＝3)3， ∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为3)3. 4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)， ∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2. (1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°. (1)证明　∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°， ∴B1C1⊥A1C1 又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1， ∴B1C1⊥平面ACC1A1. ∴B1C1⊥CD， 由AA1＝BC＝2AC＝2，D为AA1中点， 可知DC＝DC1＝2， ∴DC2＋DC21＝CC21＝4，即CD⊥DC1， 又B1C1⊥CD， ∴CD⊥平面B1C1D， 又CD?平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D. (2)解　当AD＝2)2AA1时二面角B1CDC1的大小为60°. 假设在AA1上存在一点D满足题意， 由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1， 如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD， 交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD， 所以∠B1EC1为二面角B1－CD－C1的平面角， ∴∠B1EC1＝60°， 由B1C1＝2知，C1E＝3)3， 设AD＝x，则DC＝x2＋1， ∵△DCC1的面积为1，∴12x2＋1·3)3＝1， 解得x＝2，即AD＝2＝2)2AA1， ∴在AA1上存在一点D满足题意． 5．如右图，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D在斜边AB上． (1)求证：平面COD⊥平面AOB； (2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值； (3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值． (1)证明　由题意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面