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常微分方程课程设计 题目： 常微分方程在冰雪消融问题中的应用 院 （系）： 理学院 专 业： 信息133班 组 长： 信息133 张 兴 组 员： 信息133 张 凯 信息131 刘 帅 信息132 张 泽 信息132 董 涛 指导教师： 岳宗敏 2015 年 06 月 1日完成 常微分方程在冰雪消融模型中的应用 摘要 由于全球气候持续变暖，北极的海冰正在逐渐消融，而南极也已出现冰架崩塌的现象。有关气象专家接受记者采访时说，南极和北极虽然看似遥远，但人类活动已经在影响地球两极的气候变化，而极地气候和大气环境变化也在影响着地球的天气气候。必威体育精装版研究表明，北极海冰的范围正以每十年减少百分之三左右的速度缩小，北极海冰的厚度正以每十年减少百分之三至百分之五的速度变薄。在过去一百年间，全球的气温上升了零点六摄氏度。而在二十世纪，北极陆地的气温升高了五摄氏度。已经有研究证实，如果北极的海冰按照目前的速度融化，在八十至一百年后，北极的海冰将全部消失。而这必然导致全球温度上升，干旱、洪涝等极端灾害性天气事件频发。所以，冰雪消融的问题在近几年一直备受人们的关注,本文主要解决了关于冰雪消融问题在常微分方程应用中简单的几个案例。 案例一： 问题的引入 假定一个雪球是半径为r的球,其融化时体积的变化率与雪球的表面积成正比,比例常数为 k 0 ( k 与环境的相对湿度，阳光，空气温度等因素有关), 已知两小时内融化了其体积的四分之一,问其余部分在多长时内融化完？ ? 涉及的知识点有： 函数的相关变化率 原函数与不定积分的概念 分离变量法求解一阶微分方程 ? 题目分析 题目给我们的主要信息有： 1) 雪球是半径为r的球 2) 融化时体积的变化率与雪球的表面积成正比 3) 两小时内融化了其体积的四分之一 ? 题目要解决的问题 已知两小时内融化了其体积的四分之一,问其余部分在多长时内融化完？ ? 解题思路 利用函数的相关变化率，建立微分方程模型，得到一个一阶方程，通过原函数的概念或分离变量法求解，再根据已知条件确定比例常数，进而解决题目所求的问题。 ? 问题解答 第一步： 根据雪球体积的变化率正比于其表面可可列出关系式： dVdt=-k?4πr2 （因为体积是单调减函数，所以dVdt0，故在等号右端加负号） 第二步： 因为 V=43πr2 将其代入上式可得： 4πr2drdt=-4kπr2 即： drdt=-k 解得r=-kt+C 令 r |t=0=r0 可得到雪球半径随时间变化的规律 r=r0-kt （1） 因此t=2小时时，雪球半径 r=r0-2k. 第三步： 根据题设：两小时内雪球体积减少了四分之一， 可列出下式： 43πr0-2k3=34?43πr03 解得 k=121-334r0 （2） 第四步： 因为雪球全部融化，在r=r0-kt中，故r=0 并利用（1）和（2）两式得雪球全部融化所需要的时间为： t=r0k=21-334≈22h 由于雪球全部融化约需22小时，故余下部分约20小时才能融化完. 案例二： 问题的引入 一个男孩做了两个雪球，其中，大雪球的直径为小雪球直径的二倍，他把这两个雪球放进一个温暖的房间。在房间里，这两个雪球开始融化，因为只有雪球的表面受到暖风的影响，所以假设雪球融化的量与雪球的表面积成比例。问当大球被融化一半时，小球还有多少没有融化？ ? 涉及的知识点有： 函数导数，复合函数求导，函数的变化率及其实际意义 ? 题目分析 题目给我们的主要信息有： 1) 两雪球在同一环境下开始融化 2) 大雪球的直径为小雪球直径的二倍 3) 雪球融化的量与雪球的表面积成比例 ? 题目要解决的问题 当大雪球被融化一半时，小球还有多少没有融化。 ? 解题思路 从题目雪球融化的量与雪球的表面积成比例即雪球体积减少的速率与表面积成比例这一信息，希望可以得到雪球体积或半径随时间的变化规律，进而解决题目所求的问题。 ? 问题解答 我们将证明，从体积的减少（速率）与表面积成比例这一假设出发，可以得出一个令人惊奇的结果，即雪球半径的减少与半径的长短无关，是一个恒定的值。结果，两个球的半径将减少同样的值。 第一步： 球体的体积与表面积公式分别为： V=4πr33 和 S=4πr2 设t为时间参数，则雪球体积的减少速率为： dVdt=dVdr?drdt=4π3?3r2?drdt=4πr2?drdt 第二步： 又因雪球融化的速率与