绪论：几何学——时间与空间的数学.docVIP

第一章 绪论：几何学——时间与空间的数学 本课程特点 : 《初等几何研究》课主要是对中学几何内容的补充、深化、融会贯通。进一步明确初等几何的基本概念、思想方法、理论体系。为胜任中学几何教学打好基础。 一、几何学的进步概说 就感性认知而言，人只能认知有限的事物，从生到死的时间短．从他力所能及的领域也是有限的．但是人还可以想象，用理性来认识世界，就会得到陈子昂那样的印象：时间无始无终，天地无边无沿．而—部几何学发展史，可以说就是各种各样的描摹宇宙的数学框架． 1、时间的几何模型是一维的直线．没有开端，也没有终结． 2、现实空间的直观描述是三维的；古希腊数学家研究点、线、面的关系，更建立起公理体系．被称“欧氏空间”，其上的何学，即“欧氏几何学”．这种研究方法，常称为综合几何学的方法． 3、笛卡儿发明了坐标系，把欧氏空间的点变成???序的三元数组（x,y,z）, 曲线是用只有一个参数的方程表示．曲面则用含有两个参数的方程表示．用代数方法进行演算，使得几何学插上了翅膀．解析几何学由此诞生． 4、欧氏几何中平行公理的研究，导致非欧几何学的产生．其实，现实世界中并非只有一种几何一一欧氏几何学．例如球面上的几何学(以大团作“直线”看)，就不满足欧氏平面几何的公理体系．19世纪发现的非欧几何学，打开了新的天地． 5、几何图形可以搬来报去，不改变图形的面积、体积．中国有所谓“出入相补”原理．即基于此种想法．但是．相似变换，可以把图形放大缩小，面积体积随之而变化．把物体投影在墙上，形状有变化的成分、也有不变的成分．这种变和不变，成了几何学的研究对象．射影几何学成了一门学问． 射影几何把线段的长短以及角度的大小都改变了，但是还是有一些东西没有变：相交、共线、共点等等都是．深入的研究发现，射影变换不改变四点的“交比”．德国数学家F‘克莱因进一步得出结论：几何学原来是研究不同变换群下几何不变量的学科．这一被称为“爱尔兰根”纲领的数学成就，影响了整个几何学的发展方向． 6、欧氏几何学所使用的工具很简单，所以只能研究直线、平面、直方体的变化．由“直”向“曲”的进化，来自微积分的推动．高斯一般地研究曲面上的几何学，即经典的微分几何学． 7、从平直的欧氏空间进到弯曲的一般空间，不仅仅是弯曲程度一个变化，更重要的是整体结构有改变．我们知道球面、环面具有很不相同的结构．可是，人们注意到，球面和环面，以及许多曲面，从局部看都差不多，环面上一点周围的一小片，和球面上一点周围的一小片，没有什么大的不同．区别的关键在于整体．这种把曲面看成许多小块圆片堆积而成(堆成不同的结构)的观点，就是近代几何学家所说的流形．流形的整体结构就是拓扑学的研究对象． 8、20世纪韧，爱因斯坦创立”狭义相对论”．他把一维的时间和三维的欧氏空间放在一起考察．引起了物理学的革命．数学上的四维空间，成为现实的对象．1915年，爱因斯坦又创立“广义相对论”，把宇宙看成是弯曲的四维空间．这样，微分几何学和高维几何学结合起来． 几何学在20世纪下半叶，成为数学发展的主流学科．直到今天，几何学仍然是当代数学的生长点．我们对时间和空间的认识还远远没有完结． 二、欧氏几何与非欧几何 灿烂的古希腊文明有许多伟大的成就．但是，影响最为深远的，可以说是数学．它的代表作品是公元前300年左有的欧几里得所写的《几何原本》．它的印刷数量仅次于“圣经”．欧几里得几何学已经沿用了两干多年，至今中学教材中的几何学内容还与它基本一致．《几何原本》留给后人的巨大精神财富是它创立的公理化体系．一种理性思维的方法． 欧几里得总共引入了119个定义，给出了五个公理，再承认了五条公设，欧几里得在此基础上运用逻辑推断，导出了许许多多的命题(在《几何原本》中包含了465个命题)．从而构成了欧几里得几何学． 通过这样的演绎方法获得的知识系统，显示了无可辩驳、绝对正确的真理价值．成为人类追求最高科学境界的典范．几何，于是超出数学的范围，浸润着每一块科学园地． 在漫长的中世纪．几何学在不断完善之中．人们想改善《几何原本》中的公理体系．特别是感到第五公设(即平行公理)也许是其他公理可以推出来的“定理”．很多学者(也包括一些非常有名的数学家)曾宣称已证明了平行公理能用其他公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的． 罗巴切大斯基在1829年宣布；用平行公理的反命题，即用“过给定直线外—点．存在着至少两条直线与给定直线不相交”来替代平行公理，并由这套新的体系演绎出与欧氏几何迥然不同的命题，却并没有导致任何矛盾．这样的几何就是非欧几何．后来，宠加莱提出了非欧几何的模型．将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏中间中实现出来。从此，非欧几何就成了一种令人信服的、“真正”的几何学． 三、欧氏空间和坐标几何 欧几里得的几何学是现实世界最简单最粗略的近似．他为牛顿的绝对