维随机变量及分布.docVIP

二维随机变量及其概率分布复习资料 内容摘要 一、二维随机变量 设随机试验的样本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量。 1． 联合分布函数 设（X，Y）是二维随机变量，是任意实数，函数 F（,y）=P{X≤,Y≤y} 称为（X，Y）的分布函数，或称随机变量X与Y的联合分布函数. 2． 联合分布函数的性质 （1） 0≤F（,y）≤1; （2） F(,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0 F(+∞,+ ∞)=1; （3） F(,y)对x和y分别是不减的.即对于固定的y，若 12,则F（1，y）；对于固定的，若y1y2，则 F(，y1)≤F(，y2)； （4） F（，y）关于右连续，关于y右连续，即 F（+0，y）=F（，y），F（，y+0）=F（，y）。 （5） 对于任意的点(1，y1)，(2，y2)，12，y1y2，有 F(2,y2)-F(2,y1)-F(1,y2)+F(1,y1)≥0. 3.二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X，Y）为二维离散型随机变量．并且称 Ｐ｛Ｘ＝i, Y=yj｝=,,j=1,2… 为（Ｘ，Ｙ）的分布律，或称做Ｘ与Ｙ的联合分布律． 分布律也可用表格列出： 分布律满足下列３条性质： 　　　 ４．二维连续型随机变量 设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（，y），如果存在非负函数　 f（，y），使得对任意实数，y都有 则称（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，函数f（，y）称做（Ｘ，Ｙ）的概率密度，或Ｘ，Ｙ的联合概率密度． f（，y）具有下列性质： （１）f(,y)≥　0, （２） f(,y)ddy=1 （３）若f（ ，y）在点（，y）连续，则有 （４）设Ｄ为Oy平面上的区域，则 P{(,y)∈D}=f(,y)ddy 二、边缘分布 １．边缘分布函数 设Ｆ（Ｘ，Ｙ）是Ｘ与Ｙ的联合分布函数，则 ＦX（）＝Ｐ｛Ｘ≤，Y＜+∞｝=F(,+∞) FY(y)=P{ X＜+∞，Y≤y } =F（+∞） 分别称为（Ｘ，Ｙ）关于Ｘ与Ｙ的边缘分布律。 ２．二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律为 分量X和Y都是离散型随机量，关于X的边缘分布律为 关于Ｙ的边缘分布律为 这里，“　”表示“记作”.　 ３．二维连续型随机变量的边缘概率密度 设f（，y）是（Ｘ，Ｙ）的概率密度，则关于Ｘ的边缘概率密度为 fx ()=f (,y)dy； 关于Ｙ的边缘概率密度为 fy (y)=f (,y)d. 三、随机变量的独立性 １． 设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（，y）边缘分布函数分别为Ｆx（）,Ｆy（y），如果对任意实数，y都有 则称Ｘ与Ｙ相对独立. ２． 随机变量相互独立的等价条件 （１）设（Ｘ，Ｙ）是二维连续型随机变量，则Ｘ与Ｙ相互独立 对于（X，Y）的所有可能取值（）都有 (2)设(X，Y)是二维连续型随机变量，则X与Y相互独立对一切，y都有 四、常见的二维随机变量的分布 1.二维均匀分布 设D是平面上一有界区域，其面积为A ，若（X，Y）具有概率密度 则称（X，Y）在D上服从均匀分布. １． 二维正态分布 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其中 都是常数，且 则称（X，Y）为服从参数 的二维正态分布，记作（X，Y）~N（）. 五、随机变量函数的分布 1.二维离散型随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 (1) 如果二元函数连续,且对于不同的 有不同的函数值,则Z=g(X,Y)是一维离散型随机变量,其分布律为 (2)若二元函数z = (,y) 连续,对不同的有相同的值,则Z=g(X,Y)取这些相同值的相应概率之和,作为Z取这一数值的概率. 2.二维连续型随机变量函数的分布 设(X,Y)是一维连续型随机变量,它的概率密度为f (,y)二无函数z=g(,y)连续,则Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量,它的分布函数是: 例如,已知(X,Y)的联合概率密度为f (,y),Z=X+Y求Z的概率密度. 先求Z的分布函数,再求其概率密度. 由连续型随机变量分布函数与概率密度的关系,知Z的概率密度为 同理,有 特别当X与Y相互独立时,则有 典型例题分析 一、 填空题 【例1】 设二维随机变量（X，Y）具有概率密度 其它 则常数C= _________;（X，Y）落在区域D={（,y）|＞0, y＞0, +y≤１｝内的概率为____________. 【解】 故C=4. 例2 设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，D由曲线y =及直线