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一元二次方程全章知识点及练习 一、知识结构： 一元二次方程 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 针对练习： ★1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程是关于x的一元一次方程， ⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。 ★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 ★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知的值为2，则的值为 。 例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程 必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。 例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根， 则m的值为 。 针对练习： ★1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。 ⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。 ★3、已知m是方程的一个根，则代数式 。 ★★4、已知是的根，则 。 ★★5、方程的一个根为（ ） A B 1 C D ★★★6、若 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法： ※※对于，等形式均适用直接开方法 典型例题： 例1、解方程： =0; 例2、解关于x的方程： 例3、若，则x的值为 。 针对练习：下列方程无解的是（ ） A. B. C. D. 类型二、因式分解法: ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如， ， 典型例题： 例1、的根为（ ） A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。 变式1： 。 变式2：若，则x+y的值为 。 变式3：若，，则x+y的值为 。 例3、方程的解为（ ） A. B. C. D. 例4、解方程： 例5、已知,则的值为 。 变式：已知,且,则的值为 。 针对练习： ★1、下列说法中： ①方程的二根为，，则 ② . ③ ④ ⑤方程可变形为 正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以与为根的一元二次方程是（） A． B． C． D． ★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 5、方程：的解是 。 ★★★6、已知，且，，求的值。 ★★★7、方程的较大根为r，方程 的较小根为s，则s-r的值为 。 类型三、配方法 ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题： 例1、试用配方法说明的值恒大于0。 例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。 例3、已知