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第二章 导数与微分 十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，这个时期数学研究也取得了丰硕的成果，其中突出的成就是微积分的产生． 在数学课上，我们是先学微分，后学积分的，而在历史上，积分的概念产生于微分的概念之前．积分的概念的引出最初是与计算面积、体积和弧长的问题相联系的，之后，微分与导数的概念则产生于对曲线切线和函数极值的研究． 微积分的产生是基于许多数学家长期的研究成果，最终由牛顿(Isaac Newton, 1642～1727)与莱布尼兹(Gottfried Leibniz, 1646～1716)大体完成的． 十七世纪，在微分学上做了先驱性工作的著名数学家，有费马(Pierre de Fermat, 1601～1655)、笛卡儿(Ren Descartes, 1596～1650)、巴鲁(Isaac Barrow, 1630～1677)、罗伯瓦(Gilles Persone de Roberval, 1602～1675)、惠更斯(Christian Huygens, 1629～1695)等． 　　费马提出了求函数极值的方法，他的方法相当于通过函数的导数为零的条件，确定函数的极值。费马还设计了求曲线切线的程序，他认为与曲线的两个交点趋于重合时的割线是切线。笛卡儿创立了直角坐标系为微积分的诞生打下了基础，他在曲线切线的研究上与费马基本相同。巴鲁是牛顿的老师，他在求曲线切线时，引入了“微分三角形”，最早把曲线的切线看作为曲线割线的极限状态。罗伯瓦是从运动的角度出发，他把表示质点运动的曲线的切线看作质点在切点处的运动方向。惠更斯是莱布尼兹的老师，他也对切线问题做了有益的探索。集微积分大成的是牛顿与莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度研究微积分的。 微积分学的诞生是世界科学史上的大事，它是建立在解析几何基础之上的。它是十七世纪发现的最伟大的数学工具，在十八世纪，微积分就得到了广泛的应用。 本章将研究一元函数微分学的两个最基本的概念——导数与微分．我们将通过对变速直线运动的速度和平面曲线的切线斜率两个变化率问题的分析，建立导数的概念，并介绍计算导数的基本公式和运算法则及方法.然后通过研究当自变量有微小增量时，相应的函数增量的计算问题 ，建立微分的概念，介绍计算微分的基本公式和运算法则及方法． 第一节 导数的概念 一、几个实例 导数概念同数学中其他概念一样，也是客观世界中许多自然现象在数量关系上的抽象．我们通过对变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线斜率的研究引入导数的概念. 1． 变速直线运动的瞬时速度 当质点作匀速直线运动时，任一时刻的速度可以用公式（表示时间，表示时间内物体运动的路程）来计算．但在变速直线运动中，此公式只能表示质点在一段时间内经过某段路程的平均速度，不能表示质点在某一时刻的瞬时速度．下面讨论如何精确地刻划质点在作变速直线运动过程中的瞬时速度． 设一质点作变速直线运动，其经过的路程与时间之间的函数关系为，考察质点在时刻的瞬时速度． 以运动的直线为数轴，起点为，对于任一时刻，质点的运动路程可以用数轴的一个点表示．如图 2--1所示． 当时间从时刻变到时，质点在时间间隔内所经过的路程为 ． 图 2--1 于是，质点在时间内的平均速度为 当时间间隔很短时，质点运动的速度变化不大，可以用平均速度作为质点在时刻的瞬时速度的近似值，越小，平均速度就越接近质点在时刻的速度，因此，当时，若极限存在，则此极限值就是质点在时刻的瞬时速度．即 ． 2． 平面曲线的切线斜率 切线的斜率：曲线 在其上一点 处的切线是割线当动点沿此曲线无限趋近于 点时的极限位置。由于割线的斜率为 ， 因此，当 时，如果的极限存在，则极限 图 2—2 ，即为切线的斜率。 如图2-2所示，取＝2.5，2.01，2.001分别对应于曲线上点，，和＝1.5，1.99，1.999，割线的斜率变化情况见表2-1。 表 2—1 割线的斜率变化情况表 2.5 2.01 2.001 … 2 … 1.999 1.99 1.5 0.5 0.01 0.001