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编号17 定积分与微积分的基本定理 编者：李方升 审核：牟会霞 【考点梳理】 1.定积分的概念 如果函数在区间上是连续的，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（），作和式，当时，上述和式无限接近某个 ，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即 ．其中称为 函数，称为积分 限、称为积分 限。 2. 定积分的几何意义 如果在区间上的函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所表示的曲边梯形的面积． 3.定积分的性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即 （为常数）； 性质2．代数和的积分等于积分的代数和，即 ； 性质3．（定积分的可加性）如果积分区间被点分成两个小区间与， 则 ． 4.微积分基本定理 如果是上的连续函数，并且有，则 ． 【自我检测，查找问题】 1. 。 2. 。 3. 直线、曲线、轴所围成的图形的面积是 。 4.（1）在区间上的连续的曲线，和直线所围成的曲边梯形的面积是 。 （2）在区间上连续的曲线，和直线所围成的曲边梯形的面积是 。 5.判断 （1）如果是上的连续的偶函数，则。（ ） （2）如果是上得连续的奇函数，则。 （ ） 【典型例题】 题型一: 定积分的计算 例1. 计算下列定积分 （1）； （2）； （3）； （4）。 【变式】计算下列定积分： （1）； （2）； （3）； （4）。 题型二: 利用定积分求面积 例2.（1）直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（　　） A． B．2 C． D． （2）曲线与轴所围成的封闭图形的面积是 。 （3）抛物线与直线围成的平面图形的面积是 。 【变式】（1）抛物线与轴所围成的封闭图形的面积是 。 （2）曲线，曲线，直线，直线所围成的图形的面积是 ． 题型三：定积分在物理方面的应用 例3. 作变速直线运动的质点的速度方程是（单位）． （1）求该质点从到时所走过的路程； （2）求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程． 【变式】一物体在变力（单位）的作用下，沿力的正方向移动了，求在此过程中变力所作的功。 【当堂检测 诊断反馈】 1、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 （ ） A． B．1 C． D． 2、如果的力能拉长弹簧，为了将弹簧拉长，所耗费的功为（ ） A. B. C. D. 3、计算定积分___________。 4、 。 编号16 定积分与微积分的基本定理拓展案 A组 1. 下列各命题中，不正确的是（　　） A．若是连续的奇函数，则 B．若是连续的偶函数，则 C．若在上连续且恒正，则 D．若在上连续，且，则在上恒正 2. 曲线，和直线所围成的平面区域的面积为（ ） A. B. C. D. 3.若,则实数的值为 A． B． C． D． 4. = ； 5. 若，则的最大值是 A. B. C. D. 6. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ） A． B． C． D． 7. 设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______。 8. . 9. 已知函数在区间上的图像连续，且在区间上，，，对轴上的任意两点（）都有.若，，，则的大小关系为 . B组 1、已知函数, 则的值为 A． B. C. D. 2、设，则二项式的展开式中的常数项等于 . 3、计算下列定积分 （1）； （2）； （3）； （4）。