群论在物理学中的应用—刘巍冰.docVIP

目录 1引言 （补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容。） 2群论与量子力学的基本联系（写出群论应用于量子力学的理论基础） 2.1薛定谔方程的群 2.2本征函数与薛定谔方程的群 （定理一、二、三） 3氢原子能级偶然简并的群论解释 4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂 5简化薛定谔方程的求解过程 （参考群论教材第五章第二节。） 6群论方法研究问题的特点 6.1群论方法研究量子力学的关键问题 6.2群论方法的优缺点 7结束语 批语：根据上面的目录重新设计和补充论文内容！ 群论在量子力学中的应用 刘巍冰 1引言 群论在物理中具有广泛的应用。（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容） 2群论与量子力学的基本联系 参考群论教材第五章第一节，写出群论应用于量子力学的理论基础！ 3氢原子能级偶然简并的群论解释 在近代物理学原子物理及结构化学中都讨论到原子能级问题。由健子力学的薛定格方程 求解得到某一确定能级对于若干态矢量(或波函数)。这种多个态天量处于一个能级现象称 为“简并”。它表明原子的哈蜜顿(Hamiltonia二)具有某种对称性。因原子核的库仑势 具球对称性故一般多电子原子态矢量由三个量子数n、1、m描述(不计自旋)。能级E(n、 1)与量子数n、1有关简并度是2(1十l);但是、对于氢原子(或类氢原子)同样情况简并度却群论在近代物理中的应用 高得多: 氢原子的简并度高于一般原子的现象、称为“偶然简并”。传统量子力学除了说明二子数的 意义之外。无法解释偶然简并现象。早年、Panli及Fock(‘’等人曾预言、指出可能与某 些更高的对称性有关。随着群论的引入、方得到正确解释。群论指出:多电子原子其哈密顿仅 具球对称、属50(3)群;氢原子(及类氢原子)哈密顿除了几何对称性之外、还有更高的 对称性(即内察对称性),属于50(4)群、故其简并高于一般多电子原子。说明如下: 令氢原子哈密顿算符为: 这是经典力学中:为开普勒问题,已知凡具有势能为的粒子,其轨道是椭园,引力中心 在某一焦点上。在库仓势情况下体系还有一个附加的运功恒冕、即开普勒问题的尤格一楞次 矢量(Runge一、Lenz)、记为: 其中、.分别为动居及角动量算符。_民有对易关系:〔〕=0, 令M=,E是能最本征值,算符典有六个分魔算符。 个闭合代数并对应于一个六参数李群。万ij’证明为S0(4)群。它将是氢原子的动 群。50(4)群是四维空间实正交群。比多电子原子的S0(3)对称性更高。 它们组成一 力学对称 将和线性组合、令.。则新算符A、B各自具 有角动量性质。因其满足对易关系 是三阶全反对称张量。以上对易关系表明A、B各自生成SO(3)群。于是、可以认为 L,M生成的SO (4)群与A、B产生的SO (3)群的直积群SO(3)SO (3)同态。 群论知识指出:与李群中所有生成元对易的算符称为卡什米尔算’符(CaS;mirOPe卜 “tor)。量子力学中凡互相刘一易的算符意味着处于共同木征态。例如SO (3)群中角动量算 符与分均对易。故介是SO (3)的卡什米尔算符。且的本征道是j(j+l) 氢原子属SO (4)群,令其Casimir算符为C与Cz。由同态关系SO (4)~SO (3) SO (3),SO (3)的Cusimir算符,已知其本征值 ， a.b为整数或半整数。由同态关系,可得SO (4)群Casimir算子的本征值 , 经过适当的运算(过程略) C=2a(a+1)h 由卜二式氢原子能级E值:E= 若令(2a+1)2=。 说明氢原子能级简并度是。 4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂 量子力学的墓本问题是研究薛定格方程的解: 但是,除了极少数简单情况外,一般情况很难得到E及的精确解。群论方法可以通过找出 哈密顿H的对称性,预测能量E简并情况。在单电子近似情况下、哈密顿H形式为: 对于自由原子、势能项V(r)具球对称性。在三维旋转群算符作用下、具有不变性 令“ 是坐标变换后的哈密顿算符, 上式说明与()均是哈密顿的 本征函数,具有相同的能提木征值E。我们称使体系保持不变的群为体系哈密顿所属的群。 即若令即。则G即是哈密顿所属的群〕 若将原子放置在具有某种对称性的晶格中,称原子处在晶体场中。由于晶格点阵对原 子的作){了·沙原子的哈密顿函数发生微扰变化。设微扰能狱V;自由原子的哈密顿为。, 则晶体场中哈密顿为。因为微扰能的作用,从群论观点来看、自由原子的。 所属的群若是G群(通常是SO (3)群).微扰能V所属的群若为s群。因为晶体场的微扰 作用使