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群论复习思考题 2006.12 1． 写出C4v对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论： （1） C4v的不变子群H的不变子群K不一定是C4v的不变子群。 （2） C4v的不变子群的交集仍是C4v的不变子群。 2． 试由和生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C4v不同构。 （提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C4v中只有2个） 3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel群。 4． （1）设a2=b3=(ab)2=e,由a，b生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。 （2）若a，b乘积可对易，且a2=b3=e,证明a，b生成的群定是循环群。 5． 叙述同态核定理，并加以证明。 6． 若G群是2n阶的，H为G的n阶子群，则H必为G的不变子群。其商群必为二阶循环群。 7． 若群G=HK，试证明（1）商群G/H与K同构;（2）群G的类数等于两因子群类数之积。 8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。 （2）证明置换群Sn中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。 9．（1）设a,b,c为群元，试证 abc,bca,cab同阶。 （2）证明下列循环积恒等式： 10．证明在适当的基函数下，群G可约表示的形式是 其中和分别是m阶和n阶方阵； 是n行m列的矩阵，而是m行n列的零矩阵。 （提示：采用行矢量基矢， ） 11．（1）在R3空间中,平移用表示。定义为，求平移算符的形式。 （2）绕z轴的定轴转动,其算符表示可以由OXY平面线性变换求得。试求的表示。 12．叙述舒尔引理Ⅰ和Ⅱ，分别给出一种证明。利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关系: 13．给定两个基函数构成二维空间 。 求群在上的诱导算符表示。 14．若在三维空间中给定三个独立的基矢，置换群的元素S对的作用是=。按照这一方法写出所有元素的表示矩阵。这种表示是否可约？如可约，它包含几个哪一类不等价不可约表示？ 15．试用列表形式给出群的不可约表示特征标表。并加简要推导和说明。 16．一个具有对称性的正四棱锥体系，沿一组相对面方向受到压缩，压缩后对称性群是，给出和的不可约表示特征标表，并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂情况。 17．对于幺正不可约表示，，，证明直积表示，和中分别包含不可约表示，，的次数相等。证明群的正则表示中包含其所有不可约表示，且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。 18．SU(2)群的元素可表示为 ，证明 a的实部相同的元素属于同一类。 *19. 试用SO(3)与SU(2)的对应关系 由 给出转动矩阵元的表达式。 20. 求群的两个2维表示直积的约化C-G系数。 21. 用对称化基函数法将D3群在 F3={ f()=ax2+by2+c.2xy| a,b,c∈R}上的诱导算符群的表 示T约化(提示: D3群的3维表示一定可约)。 22.采用Euler角方法，写出SO(3)群元素的表示矩阵。今有一定轴转动=(), 求转轴的取向和转角。 23．写出反映正四面体完全对称性的群所包含的所有点操作，它分为几类？求相应的不可约表示特征标。 24．求群的不可约表示及相应的表示的特征标。 25．求立方体转动对称O群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。（提示：用对称化基函数） 26．叙述晶体转轴制约定理，并证明之。 *27．空间平移矢量，相应方向上的格点数为。求平移群的不可约表示，这种表示有多少个？各是几维的？ 28．写出分子的对称点操作群。 1 2 3 4 29．写出标准杨盘 的杨算符。试验证它们是原始幂等元。 30．用标准杨盘（表）方法求置换群的不可约表示中元素（12），（23），及（14）的表示矩阵。 31．用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。 （1） （2） 32．利用特征标表验证下列直积表示关系 推广到一般情况。试论证：两个不可约表示的直积仍为不可约表示的条件是什么？ 33．求置换群的不可约表示的自身外积⊙的约化。并用表示维数加以验证。 34．（1）验证杨图等式 ⊙ = ⊙ ⊙ - ⊙ （2）计算外积 ⊙ ，并验证维数。 （3）将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和 35. 分别计算S6群所有(K-1,K)对换在下列两个不可约表示中的实正交矩阵形式。并计算它们之间的相似变换矩阵X。 （提示： 结果： ） 36. GL(5,C)群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间，其子空间的维数各为多少？（用Robinson公式）。(提示: 625=5+70+315+135+100) *37. 由普通张量, 写出[3，1]对称形张量具