考研学生方程部分.docVIP

理工类 说明： (1) 只对数学一要求的在左上角加“①”. (2) 记号[08120]表示08年数一第20题. (3) 例题中“Ai、Bi、Ci”分别表示“基本题、综合题、应用题” 常微分方程 [考试要求] 1.了解微分方程及其解、阶、通解、特解和初始条件等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列微分方程：，，. 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题. ---------------------------------------------------------------------- [内容分为三大部分] Ⅰ.一阶微分方程求解及应用; Ⅱ.二阶微分方程求解及应用; Ⅲ. 欧拉方程; IV．差分方程. ---------------------------------------------------------------------- [考题常出类型] A.基本题：给出方程直接求解. B.综合题：给出与微分、积分、级数等有关的表达式，然后转化成微分方程求解. C.应用题：根据实际问题列出微分方程求解. ---------------------------------------------------------------------- 本章主要解决的两个问题：一是解方程,二是列方程解应用题. 解方程时，要首先掌握方程所属类型. 因不同类型的方程有不同的解法。同一个方程可能属于多种不同的类型，应选择较易的方法求解。用公式时应注意它的使用条件。 应用题列方程时，要根据题意，分析条件，搞清问题所涉及到的基本物理量或几何量的意义，建立数学模型. 通过逻辑推理等综合手段列出微分方程，使问题得到解决。这是考察考生综合应用能力的重要方面，是考试的难点内容之一. [内容提要] 预备知识：几个基本概念 1.微分方程的定义： 一阶：形如或 (方程中可缺少,但必含) 阶：或 2.微分方程的解：使所给微分方程成为恒等式的函数. 通解:含有个独立的任意常数的解称为阶微分方程的通解. 注意: 中任意常数的个数必须与方程的阶数相等. 特解:根据初始条件确定了任意常数的值的解. 初始条件： 一阶; 二阶， Ⅰ.一阶微分方程求解及应用 (变量可分离、齐次、线性、①贝努利、①全微分) 1.变量可分离方程: 形如 解法: 分离变量 , 两边积分 ----------------------------------------------- 2.齐次方程： 形如 解法:(化齐次方程为变量可分离方程) 令, 则, ? ? 注意:一定要将变量还原，即将代回所求解中. ------------------------------------------------- 3.线性方程： 形如 (1) ---齐次; (2) ---非齐次. 性质：①若是齐次(1)的一个非零解，则是其通解； ②若,都是非齐次(2)的解,则是齐次(1)的解； ③若是非齐次(2)的特解，是齐次(1)的通解， 则是非齐次(2)的通解。 ------------------------------------------------ 解法： ① 公式法: 齐次； 非齐次 ②常数变易法: 将代入所求方程确定便得解. 说明:在套公式前要将方程化成标准形，即的系数为1. ------------------------------------------------- ①4.贝努利方程： 形如 解法:(化贝努利方程为线性方程) 变形为 , 令 ? ? 注意:一定要将变量还原，即将代回所求解中. ------------------------------------------------- ①5.全微分方程: 形如, 且 ， (单连域) 解法: ① 观察法：