考研数学复习高等数学元函数微分学.docVIP

第二章 一元函数微分学 2013考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删) 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 2013年考试要求 1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。 6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a，b）内，设函数f(x)具有二阶导数。当时，f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 一、导数的定义、几何意义、物理意义、经济学意义 1.1定义：在的某一邻域内有定义，而且称为导数。可导必连续，连续不一定可导。 导数的定义是可导的充要条件形式。注意以下两点 ①极限 特点是分子必须存在一个定点函数。 ② ，如下列均为导数极限定义的几种等价形式： ● ● 可导的充分条件必须同时满足下列4个条件 ① ②和必须有一个是，不妨设称为定点函数， 而称为动点函数；比如就不满足此条件； ③ 必须能两侧趋于0，，也随之变号；比如或或就不满足此条件； ④ 与为同价无穷小，比如就不满足此条件。 而和就满足充分条件。 必要条件形式（特点是：没有一个固定点） ● 也就是说：相应的极限存在，不一定存在。 ● 重要公式： 如果存在，并且为同价无穷小时, 下列公式成立 陈氏第3技 ■题型1 导数存在的条件题法 【例4】函数在处连续，下列命题是否正确？ A） B） C） D） 解：在处连续，则在处的邻域内有定义。 A），命题正确。 B），命题正确 C）， ，命题正确。 D）命题错误。 【例5】 解： 1.2 的几何意义为点切线的斜率，的物理意义为点的变化率，的经济学意义为点的边际。 1.3 存在，则和存在且相等。 1.4 可导的奇函数的导数为偶函数；可导的偶函数的导数为奇函数；求导不改变函数的周期性；但积分会改变函数的周期性。 二、 导数定义的基本应用 ■题型2 导数定义的应用题法 2.1求分界点或边界点的导数 【例6】设在上满足，若已知， 求：。 解：设 【例7】设有反函数，，且， 求； 求； 解：记，为的反函数，已经改变了符号，为利用反函数公式，需要将 该为 注意到 由等式，两边再次关于求导得 令，则 【例8】设；求。 解：当 当 【例9】设函数 求。 解： 也可以这样计算：， 这是因为此题中的分段函数没有共同的分界点。 【例10】 若存在，求 解： = 【例11】 （1）讨论的可导性；（2）讨论的连续性。 解：（1）在内处处可导，仅需讨论点。 ，故在处处可导。 （2） 由于：为无界量，故为的第二类振荡间断点。 评 注 本题也说明了函数连续，其导函数不连续的情形。 【例12】讨论的可导问题。 解: ，即在点可导； 当时，不失一般性，令，从而 同理： 可见，同样可以证明：。 因此，在点处不可导，由于，除了点外，任何都存在不可导点。 评 注 本题也说明了函数在某一点可导，在该点的任何邻域都存在不可导点的情形。 【例13】