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考研数学常微分方程义(卓越资料)
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卓越考研教研组汇编
第七章 常微分方程
§7.1 基本概念和一阶微分方程
A基本内容
一、基本概念
1、常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程。
2、微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3、微分方程的解、通解和特解
(1) 解的定义:满足微分方程的函数称为微分方程的解;
(2) 通解:含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解;
通解有时也称为一般解,但不一定是全部解;
(3) 特解:不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4、微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5、积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
二、变量可分离方程及其推广
1、变量可分离的方程
(1) 方程形式: 或
(2) 解法:先分离变量,再积分。
通解
注:1、在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)
2、求出通解,要注意化简。
2、齐次方程
(1)方程形式:
(2) 解法:令,则
3、一阶线性方程
(1)、一阶线性齐次方程
它也是变量可分离方程,通解公式,(为任意常数)
(2)、一阶线性非齐次方程
用常数变易法可求出通解公式
令,代入方程求出
则得
B 典型例题
一、变量可分离方程与齐次微分方程
例1、求下列微分方程的通解。
(1)
(2)
例2、求下列微分方程的通解。
(1) (2)
(3)
例3、求微分方程
例4、求微分方程的通解。
例5、求微分方程的通解。
二、一阶线性方程
例1、求下列微分方程的通解
(1) (2)
(3)
解:(1)通解为
(2)直接用通解公式(先化标准形式)
,
通解
(3)此题不是一阶线性方程,但把看作未知函数,看作自变量,
所得微分方程 即
是一阶线性方程 ,
例2、设函数连续,求解方程:.
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