考研数学常微分方程义(卓越资料).docVIP

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考研数学常微分方程义(卓越资料)

卓越考研内部资料 (绝密) 卓而优 越则成 卓越考研教研组汇编 第七章 常微分方程 §7.1 基本概念和一阶微分方程 A基本内容 一、基本概念 1、常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程。 2、微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3、微分方程的解、通解和特解 (1) 解的定义:满足微分方程的函数称为微分方程的解; (2) 通解:含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解; 通解有时也称为一般解,但不一定是全部解; (3) 特解:不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4、微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5、积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 二、变量可分离方程及其推广 1、变量可分离的方程 (1) 方程形式: 或 (2) 解法:先分离变量,再积分。 通解 注:1、在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加) 2、求出通解,要注意化简。 2、齐次方程 (1)方程形式: (2) 解法:令,则 3、一阶线性方程 (1)、一阶线性齐次方程 它也是变量可分离方程,通解公式,(为任意常数) (2)、一阶线性非齐次方程 用常数变易法可求出通解公式 令,代入方程求出 则得 B 典型例题 一、变量可分离方程与齐次微分方程 例1、求下列微分方程的通解。 (1) (2) 例2、求下列微分方程的通解。 (1) (2) (3) 例3、求微分方程 例4、求微分方程的通解。 例5、求微分方程的通解。 二、一阶线性方程 例1、求下列微分方程的通解 (1) (2) (3) 解:(1)通解为 (2)直接用通解公式(先化标准形式) , 通解 (3)此题不是一阶线性方程,但把看作未知函数,看作自变量, 所得微分方程 即 是一阶线性方程 , 例2、设函数连续,求解方程:.

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