考研数学线性代数概念性质定理公式整理3.docVIP

√ 初等矩阵的性质： √ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式. √ √ √ 的特征向量不一定是的特征向量. √ 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 与相似 （为可逆矩阵） 记为： 与正交相似 （为正交矩阵） 可以相似对角化 与对角阵相似. 记为： （称是的相似标准形） √ 可相似对角化 为的重数恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有： . 注：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数 基础解系的个数. √ 若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化. √ 若可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）. √ 若=， √ 相似矩阵的性质： ①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 注是关于的特征向量,是关于的特征向量. ② ③ 从而同时可逆或不可逆 ④ ⑤； （若均可逆）； ⑥ （为整数）；， ⑦ 注前四个都是必要条件. √ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③一定有个线性无关的特征向量. 若有重的特征值,该特征值的重数=； ④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值. 正交矩阵 √ 为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① ； ② ； ③ 正交阵的行列式等于1或-1； ④ 是正交阵,则，也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑥ 的行（列）向量都是单位正交向量组. 二次型 ，即为对称矩阵， 与合同 . 记作： （） 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数 符号差 (为二次型的秩) √ 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是： √ 两个矩阵合同的必要条件是： √ 经过化为标准形. √ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的. √ 当标准形中的系数为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. √ 惯性定理：任一实对称矩阵与唯一对角阵合同. √ 用正交变换化二次型为标准形: ① 求出的特征值、特征向量； ② 对个特征向量正交规范化； ③ 构造（正交矩阵）,作变换,则新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值. 施密特正交规范化 线性无关, 单位化： 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 例如：取，. 正定二次型 不全为零，. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 为正定二次型（之一成立）： ① ，； ② 的特征值全大于； ③ 的正惯性指数为； ④ 的所有顺序主子式全大于； ⑤ 与合同，即存在可逆矩阵使得； ⑥ 存在可逆矩阵，使得； ⑦ 存在正交矩阵，使得 （大于）. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 为正定矩阵 ； . √ 为正定矩阵也是正定矩阵. √ 与合同，若为正定矩阵为正定矩阵 √ 为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.