考研数学线性代数行列式.docVIP

第二讲 行列式 1.形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: (简记为) 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作. 行列式的的核心问题是值的计算. 一. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式: 一般地,一个n阶行列式 = 这里 1．是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.) 2. 每一项,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标 构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项. 表示对所有n元排列求和. 3. 规定为全排列的逆序数. 称12…n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求436512的逆序数: , (436512)=3+2+3+2+0+0=10. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 例如下三角行列式 对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积 例 求的和的系数. 解析：的系数是1；的系数是-10 二. 化零降阶法 1.余子式和代数余子式 元素的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作. 的代数余子式为. 2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. n=4, 例如 求3阶行列式 =(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3 =(-3)?(-5)-4?(-18)+6?(-10)=27. 例 解析： 原式=1 A11+t A1n =1+ =1+ 例 求行列式 的第四行各元素的余子式的和. 解析： 所求为 原式= 将原行列式换为即他的值就是原题的余子式之和 答案为-28（对第三行展开 ) 3.命题 第三类初等变换不改变行列式的值. 08题 . 证明|A|=(n+1)an. 分析： 证明：初等变换 4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式. 三.其它性质 行列式还有以下性质: 3．把行列式转置值不变,即 . 4．作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c. 问题： ；；； 6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式. 例如 问题： 例如： 例 设4阶矩阵解： 7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. 8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 例 已知行列式 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 解析：思路：利用性质8 拉普拉斯公式的一个特殊情形： 如果A与B都是方阵(不必同阶),则 范德蒙行列式：形如的行列式(或其转置).它由所决定,它的值等于 因此范德蒙行列式不等于两两不同. 对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算. 四.克莱姆法则 克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A为n阶矩阵)时. 方程组有唯一解. 此解为 是把的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式. 1.是方程组有唯一解的充分必要条件. 问题: 于是只用说明是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵作初等行变换,使得A变为单位矩阵:；就是解. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是. 例 设有方程组 (1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等. (2)在此情况求解. 分析： 证明：（1） 由克莱姆法则法则可知 故a,b,c两两不相等 （2） 五. 典型例题 例1 ① ② ③ ④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式. ②分析： 解： ①分析：与②同理 ④分析：类型一致 ③分析：把