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第十三讲 经济学中的若干数学问题 一、考试基本要求 1、 了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2、 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3、 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4、 会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。 二、基本内容 （一）、微积分在经济学中的应用 1、 极限在经济学中的应用 （1）复利：经济学中一个基本概念，它是指按本金计算的每个存款周期的利息在期末加入本金，并在以后的各期内再计利息。 设某银行年利率为r，一年支付n次，初始存款为P元，则t 年后在银行的存款余额为。 称为年有效收益，银行称之为票面率。 由于，该式表示当初始存款为1元，且每年支付次数趋于无穷时，称t年后存款余额为按连续复利计算得到的存款余额。 因此，当初始存款为P，年利率为r，则按连续复利计息t年后的存款余额为。 现实世界中有许多事物的变化都类似于连续复利，如放射性物质的衰变、细胞繁殖等。 （2）将来值与现值： 现存入100元，按年利率为r计。若以年复利方式获得利息（即以年为计息基本单位，每年支付一次本息），那么一年后存款为元。 因此可以说今天的100元相当于一年后的存款元，称这元是100元的将来值，而100元是元的现值。 一般地，称元存款的将来值为元是指将来指定时刻原元加上利息后正好为元。 年利息为，元存款按连续复利计算，现值与将来值关系为 或。 2、利用导数求解经济应用问题 “边际”、“弹性” 成本函数： 总收益函数： 利润函数： 弹性： “导数”ד倒数” 反映随的变化函数的变化幅度的大小，即对的变化所反映出的强烈程度或灵敏度。两点间的弹性是有方向的。 需求弹性：需求对价格的弹性，常用表示 用需求弹性分析总收益的变化 ①、若（需求变动的幅度价格变动的幅度） 递增（价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少） ②、若递减 ③、若取得最大值 总收益的变化受需求弹性的制约。 3、利用定积分求解经济问题 4、利用最优化原则求解经济应用问题 经济系统必须遵循系统学的最优化原则。 这里，主要是指经济学中的无约束极值问题与有等式约束的极值问题。 三、典型例题 例1、若你买的彩票中奖100万元，你要在两种兑奖方式中选择。假设两种方式都从现在起支付，一种方法是分四年支付，每年支付25万元；另一方法是一次付清92万元。设年利率为6%，以连续复利计息。如果不纳税，那么你选哪一种兑奖方式合算？ 设选择要使总现值最大的方法。 第一种方法的总现值为 因此选择一次付清92万元的方式合算。 例2、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假设）就出售，总收入为（元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，年末总收入为。假设银行的年利率为，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求时的值。 根据连续复利公式，这批酒在窖藏年末售出总收入的现值为 而 为唯一驻点 于是是极大值点，即最大值点。 当年。 例3、在经济学中，称函数为固定替代弹性生产函数，而称函数为Cobb—Douglas生产函数（简称C—D生产函数）（K、L0）。 试证明（1） （1）因为 所以 （2）当， 因而当 同理可证当 因此有 例4、某商品进价为（元/件），根据以往经验，当销售价为（元/件）时，销售量为件（均为正常数，且），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。 解 设p表示销售价，x表示销售量, 需求函数为 则由题设有 即 ，或 利润函数为 令 由问题的实际意义或可知，为极大值点，也是最大值点，故定价为 时，有最大利润 （元） 例5、设生产函数为，其中是产出量，是劳动投入量，是资本投入量，而均为大于零的参数，则当时关于的弹性为 。 当时，有 例6 （04年）设某商品的需求函数为，其中价格，Q为需求量。 （1） 求需求量对价格的弹性； （2） 推导（其中R为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。 [解] （1） （2）由R=PQ, 得 又由 ，得P=10. 当10P20时，，于是. 故当10P20时，降低价格反而使收益增加。 例7、设某商品的需求函数为，其中为需求量，为价格。 （1）求需求弹性函数； （2）价格在什么范围内变化时，总收益随增加而增加； 在什么范围内变动时，总收益随增加而减少？ （3）为何值时，总收益最大，最大值为多少？ （4）在时，若价格上涨1%，总收益是增加还是减少，将变化百分之几？ （1） （2）由关于需求弹性与总收益的关系可知 当时，总收益随价格增加而增加； 当时，总收益随价格增加而减少。 注意到（1）的结果便知 当时