考研数学阶微分方程义(卓越资料).docVIP

卓越考研内部资料 （绝密） 卓而优 越则成 卓越考研教研组汇编 §4．2 二阶微分方程 A 基本内容 一、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2） 1、若，为(1)的两个特解，则它们的线性组合(为 任意常数)仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为 2、若，为(2)的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。 3、若为(2)一个特解，为(1)的任意特解，则为(2)的一个特解。 4、若(2)的一个特解，而为(1)的通解（，为独立的任意常数）则是(2)的通解。 5、设与分别是与的特解，则是的特解。 二、二阶常系数齐次线性方程 1、方程形式 其中，为常数， 2、解法 特征方程 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当，特征方程有两个不同的实根， 则方程的通解为 （2）当，特征方程有二重根 则方程的通解为 （3）当，特征方程有共轭复根， 则方程的通解为 三、二阶常系数非齐次线性方程 1、方程形式： 其中为常数 通解： 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求。 我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下： 1、，其中为次多项式 （1）若不是特征根，则令 其中为待定系数。 （2）若是特征方程的单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 2、其中为次多项式，为实常数 （1）若不是特征根，则令 （2）若是特征方程单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 3、 或 其中为次多项式，皆为实常数 （1）若不是特征根，则令 其中 为待定系数 为待定系数 （2）若是特征根，则令 四、差分方程 考试要求一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 (1)其中为已知函数，为非零常数． 当时，方程(1)变为， (2)我们称（1）为一阶常系数非齐次线性差分方程，称(2)为其对应的一阶常系数齐次线性差分方程． 1齐次差分方程的通解 通过迭代，并由数学归纳法可得（2）的通解为这里为任意常数。 2非齐次差分方程的解的性质 (1) 若是非齐次差分方程（1）的一个特解，是齐次差分方程（2）的通解，则非齐次差分方程（1）的通解为． (2) 若与分别是差分方程和的解，则+是差分方程+的解． 非齐次差分方程(1)的特解形式的设定如下表： B 典型例题 一、常系数齐次线性微分方程 例1、求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）特征方程 ，即 特征根 ， 微分方程通解 （2）特征方程 ，即 特征根 二重根 微分方程通解 （3）特征方程 特征根 微分方程通解 （4） 特征方程 即 特征根 二重根， 微分方程通解 例2、设方程，求满足，的特解。 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 例1．求微分方程的一个特解。 答案 例2、求微分方程 的通解。 答案： 例3、求的通解。 答案： 例4、求方程的通解。 答案： 例5、求的通解。 答案： 例6、求方程的通解。 答案： 例7、求微分方程的通解。 答案：。 三、差分方程 例、差分方程的通解为________________．