考研数学高数反常积分.docVIP

第六讲：广义积分（反常积分） 反常积分概念： 定积分是有界函数在有限区间上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，或者是讨论无界函数的积分，这就是广义积分（或称反常积分）： 第一类反常积分（无穷积分） 或 第二类反常积分（瑕积分） 其中：或 在上两个定义式中，若积分存在，则称相应的反常积分收敛；若积分不存在，则称其为发散． 例： 计算广义积分 重要例题： 讨论p-积分的敛散性： 下面先针对第一类反常积分的敛散性的判断进行讨论 第一类反常积分的敛散性判别法： （仅讨论的形式） 绝对收敛性： 若反常积分收敛，则称反常积分绝对收敛，或称在区间上绝对可积； 若反常积分发散，而反常积分收敛，则称反常积分条件收敛，或称在区间上条件可积。 定理： 若绝对收敛，则必收敛 正项反常积分的敛散性判别： （即以下讨论中，被积函数都是非负的） 比较判别法： 设在上恒有，其中是正常数。则 （1）当收敛时，也收敛； （2）当发散时，也发散。 例： 比较判别法的极限形式： 设在上恒有，，且。则： （1）若，则与具有相同的敛散性； （2）若，且收敛，则收敛； （3）若，且发散，则发散。 例： 在实际做题中，经常取，由此可得如下两个定理： 柯西判别法： 设在上恒有，是正常数。 ⑴ 若，且，则收敛； ⑵ 若，且，则发散。 柯西判别法的极限形式： 设在上恒有，且 ， 则 ⑴ 若，且，则收敛； ⑵ 若，且，则发散。 显然，当为非零常数时，与对应的p-积分具有相同的敛散性。 一般反常积分的敛散性判别： （即以下讨论中，被积函数的符号不再做要求） 除了绝对收敛以外，还有如下两个判别法： A-D判别法 若下列两个条件之一满足，则收敛 （1）（阿贝尔判别法）收敛，g(x)在上单调有界; （2）（狄利克雷判别法）设在上有界，g(x)在上单调, 且 例： 第二类反常积分的敛散性判别法： 绝对收敛性： 若反常积分收敛，则称反常积分绝对收敛，或称在区间上绝对可积； 若反常积分发散，而反常积分收敛，则称反常积分条件收敛，或称在区间上条件可积。 定理： 若绝对收敛，则必收敛 正项反常积分的敛散性判别： （即以下讨论中，被积函数都是非负的） 比较判别法： 设在上恒有，其中是正常数。则 （1）当收敛时，也收敛； （2）当发散时，也发散。 比较判别法的极限形式： 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与 如果, 是非负函数，且 则： （1）当, 且收敛时，则也收敛． （2）当，且发散时，则也发散． 柯西判别法： 设x=a是在上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积, ，那么 （1）如, 且, 则收敛． （2）如,且, 则发散． 柯西判别法的极限形式： 设 （1）若0k,且, 则收敛 （2）若0k,且, 那么发散． 例： (1) (k21) (2) (p,q0) (3)(0) A-D判别法： 若下列两个条件之一满足，则收敛：（b为唯一瑕点） （1）（阿贝尔判别法）收敛, g(x)在[a,上单调有界 （2）(狄利克雷判别法) =在[a, 上有界, g(x) 在(上单调, 且. 例： (0p2) 练习题： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) ； (11) ； (12) ．