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1989年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知则= _____________. (2)设是连续函数,且则=_____________. (3)设平面曲线为下半圆周则曲线积分=_____________. (4)向量场在点处的散度=_____________. (5)设矩阵则矩阵=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当时,曲线 (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是 (A) (B) (C) (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A) (B) (C) (D) (4)设函数而其中 则等于 (A) (B) (C) (D) (5)设是阶矩阵,且的行列式则中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求 (2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算 的值. (3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域. 四、(本题满分6分) 将函数展为的幂级数. 五、(本题满分7分) 设其中为连续函数,求 六、（本题满分7分） 证明方程在区间内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分） 问为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分） 假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明 (1)为的特征值. (2)为的伴随矩阵的特征值. 九、（本题满分9分） 设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件的概率随机事件的概率及条件概率则和事件的概率=____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知???标被命中,则它是甲射中的概率为____________. (3)若随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量与独立,且服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.