考研高等数学强化义全.docVIP

第六章 多元函数微分学 §6.1 多元函数的概念、极限与连续性 （甲）内容要点 一、多元函数的概念 1．二元函数的定义及其几何意义 设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量 都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。 二元函数的图形为空间一块曲面，它在平面上的投影域就是定义域。 例如，二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与元函数 ，空间一个点集，称为三元函数 称为元函数。 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 二、二元函数的极限 设在点的领域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有 则记以或 称当趋于时，的极限存在，极限值为。否则，称为极限不存在。 值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三、二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念 若则称在点处连续 若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。 2．闭区域上连续函数的性质 定理1 （有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值（最大值），（最小值） 定理3 （介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值，若，则存在，使得 （乙）典型例题 一、求二元函数的定义域 （自己阅读） 例1．求函数的定义域 解：要求 即； 又要求即，或，综合上述要求得定义域 或 例2．求函数的定义域 解：要求和 即 函数定义域在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点） 二、有关二元复合函数 （自己阅读） 例1．设，求 解：设，解出， 代入所给函数化简 故 例2．设，求 解： 例3．设，当时，，求函数和 解：由条件可知 ，令， 则 ， 三、有关二元函数的极限 例1．讨论 （常数） 解：原式 而 又 例2．讨论 解：沿原式 沿，原式 原式的极限不存在 例3．讨论 解： （） 而； 用夹逼定理可知 原式 §6.2 偏导数与全微分 （甲）内容要点 一、偏导数与全微分的概念 1．偏导数 二元：设 例：， ， 三元：设 ； ； 2．二元函数的二阶偏导数 设， ， ， ， 当二阶偏导数连续时， 3．全微分 设，增量 若 当时 则称可微，而全微分 定义：， 定理：可微情况下，， 三元函数 全微分 4．相互关系 例：函数有偏导数是连续的（ ）条件 （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）无关 5．方向导数与梯度（数学一） 二、复合函数微分法——锁链公式 模型I：设，， 则； 模型II：设，， 则 模型III：设， ， 则 口诀（38）：多元复合求偏导；锁链公式不可忘。 思考题：设，，，， 求和的锁链公式和图 三、隐函数微分法 设，确定 则；（要求偏导数连续且） 口诀（39）：多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 四、几何应用（数学一） 1．空间曲面上一点处的切平面和法线